Русская Википедия:Температурные функции Грина

Температурные функции Грина являются некоторой модификацией функций Грина для квантовомеханических систем с температурой отличной от нуля. Они удобны для вычисления термодинамических свойств системы, а также содержат информацию о спектре квазичастиц и о слабонеравновесных кинетических явлениях.

В системах со взаимодействием может быть построена соответствующая диаграммная техника для температурных функций Грина. Эта техника широко используется для изучения фазовых переходов (сверхпроводимость, сверхтекучесть, точка Кюри) в различных системах. Исследование подобных систем является нетривиальной задачей. Для описания самого механизма перехода и состояния ниже точки перехода модель невзаимодействующих частиц непригодна. Здесь решающую роль играет межчастичное взаимодействие. Учёт подобного взаимодействия значительно усложняет используемый математический аппарат. Аппарат температурных функций Грина можно развивать в двух эквивалентных формулировках: с помощью квантовомеханических операторов либо в методе функциональных интегралов. Одним из плюсов последнего метода является отсутствие проблем некоммутативности операторов поля и разного рода упорядочиваний. ^[1]

Операторный подход

Определение температурных функций Грина

Введём мацубаровские <math>\hat{\Psi}</math> — операторы в «гейзенберговском представлении» соотношениями^[2]:

<math> \hat{\Psi}(\tau,\mathbf{r})=e^{\tau (\hat{H}-\mu \hat{N})}\hat{\psi}(\mathbf{r})e^{-\tau (\hat{H}-\mu \hat{N})},</math> <math> \hat{\Psi}^\dagger(\tau,\mathbf{r}) = e^{\tau (\hat{H}-\mu \hat{N})}\hat{\psi}(\mathbf{r})^{+}e^{-\tau (\hat{H}-\mu \hat{N})}.</math>

В более общем случае эти операторы могут иметь спиновые индексы. В этих формулах <math>\tau</math> — вещественная переменная <math> \tau\in (0, 1/T) </math>, поэтому операторы <math> \hat{\Psi}(\tau,\mathbf{r}) </math> и <math> \hat{\Psi}^\dagger(\tau,\mathbf{r}) </math> не являются эрмитово-сопряженными, <math>\mu</math> — химический потенциал системы, <math>\hat{H}</math> — гамильтониан системы, <math>\hat{N}=\int d\mathbf{r}\hat{\psi}^{+}(\mathbf{r}) \hat{\psi}(\mathbf{r})</math> — оператор числа частиц. Операторы <math> \hat{\psi}(\mathbf{r}) </math> и <math> \hat{\psi}^{+}(\mathbf{r}) </math> эрмитово-сопряженный операторы поля в шрёденгеровском представлении. Видно, что «гейзенберговское представление» мацубаровских операторов отличается от настоящего гейзенберговского представления заменой в последнем <math> t \rightarrow -i\tau</math>, то есть формально это можно понимать как переход ко мнимому времени. Температурная функция Грина определяется следующим образом:

<math>G(\tau,\mathbf{r}_1; \tau',\mathbf{r}_2) = - \frac{Tr\left\{e^{\frac{(\hat{H}-\mu \hat{N})}{T}}T_{\tau}\hat{\Psi}^\dagger(\tau,\mathbf{r}_1)\hat{\Psi}(\tau',\mathbf{r}_2)\right\}}{Tr\left\{e^{\frac{(\hat{H}-\mu \hat{N})}{T}}\right\}},</math>

где символ <math>T_{\tau}</math> означает «<math>\tau</math> — хронологизацию» — расположение операторов слева на право в порядке убывания <math>\tau</math>. В случае ферми-частиц перестановка между собой операторов приводит к изменению общего знака.^[3] С помощью этой функции можно вычислить число частиц как функцию химического потенциала, или химический потенциал, как функцию концентрации и температуры: <math> N = \pm \int d\mathbf{r} G(\tau,\mathbf{r}; \tau + 0,\mathbf{r}). </math>

Случай свободных частиц

Гамильтониан свободной системы, выраженный через шрёдингеровские операторы поля, имеет вид^[4]:

<math> \quad \hat{H_0}=\int \hat{\psi}(\mathbf{r})^{+}\left(-\frac{\Delta}{2 m} \right)\hat{\psi}(\mathbf{r})d\mathbf{r},</math>

в представлении вторичного квантования он же запишется следующим образом:

<math> \hat{H_0}=\sum \varepsilon_0(\mathbf{p})\hat{a}_{\mathbf{p}}^{+}\hat{a}_{\mathbf{p}},\quad \varepsilon_0(\mathbf{p}) = p^2/2m,</math>

что следует из определения <math>\hat{\psi}</math>-операторов:

<math> \hat{\psi}(\mathbf{r})= \frac{1}{\sqrt{V}}\sum e^{i\mathbf{p}\mathbf{r}}\hat{a}_{\mathbf{p}}, \qquad \hat{\psi}(\mathbf{r})^{+}= \frac{1}{\sqrt{V}}\sum e^{-i\mathbf{p}\mathbf{r}}\hat{a}_{\mathbf{p}}^{+}. </math>

Температурная функция Грина свободных частиц в импульсно-«временном» представлении :

<math> G(\mathbf{p},\tau,\tau')= e^{\xi_0(\mathbf{p})(\tau-\tau')}\left(\Theta(\tau'-\tau)\mp \frac{1}{e^{\xi_0(\mathbf{p})\beta}\pm 1}\right), </math>

здесь <math>\xi_0(\mathbf{p})=\varepsilon_0(\mathbf{p})-\mu, \quad \beta = 1/T. </math>

Взаимодействующие частицы

Предположим, что на систему частиц не действуют внешние поля, а межчастичные взаимодействия носят парный характер. Гамильтониан системы представим в виде: <math>\hat{H} =\hat{H}_0+\hat{H}_{int}. </math> Введём мацубаровские операторы в представлении взаимодействия соотношениями^[5]:

<math> \hat{\Phi}(\tau,\mathbf{r}) = e^{\tau (\hat{H}_0-\mu \hat{N})}\hat{\psi}(\mathbf{r})e^{-\tau (\hat{H}_0-\mu \hat{N})},</math> <math> \hat{\Phi}^\dagger(\tau,\mathbf{r}) = e^{\tau (\hat{H}_0-\mu \hat{N})}\hat{\psi}(\mathbf{r})^{+}e^{-\tau (\hat{H}_0-\mu \hat{N})}.</math>

Возмущённая часть гамильтониана выраженный через <math>\hat{\Phi}</math> — операторы имеет вид:

<math> \hat{H}_{int} = \frac{1}{2}\int \int d\mathbf{r_1} d\mathbf{r_2}\hat{\Phi}(\mathbf{r_1},\tau)\hat{\Phi}^{\dagger}(\mathbf{r_1},\tau)U( \mathbf{r_1}-\mathbf{r_2})\hat{\Phi}(\mathbf{r_2},\tau)\hat{\Phi}^{\dagger}(\mathbf{r_2},\tau). </math>

Через эти же операторы можно определить температурную функцию Грина:

<math>G(\tau_1,\mathbf{r}_1; \tau_2,\mathbf{r}_2) = - \frac{Tr\left\{e^{(\hat{H}_0-\mu \hat{N})\beta}T_{\tau}\hat{\Phi}(\tau_1,\mathbf{r}_1)\hat{\Phi}^\dagger(\tau_2,\mathbf{r}_2) S(\beta)\right\}}{Tr\left\{e^{\frac{(\hat{H}_0-\mu \hat{N})}{T}}S(\beta)\right\}},</math> <math> S(\beta) = T_{\tau} \exp{\left( -\int\limits_{0}^{\beta} \hat{H}_{int}(\tau) d\tau \right)}.</math>

Такая запись позволяет разложить экспоненту с возмущением и вычислять температурную функцию Грина в виде ряды, а каждый член ряда изображать графически в виде диаграммы.

Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление.
	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение	Аналитическое выражение
1	Сплошная линия	gren1	<math>G_0(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2, \tau_1-\tau_2)</math>
2	Сплошная линия	gren2	<math> G_0(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1, \tau_2-\tau_1) </math>
3	Волнистая линия	gren3	<math>\mathfrak{U}(x_1-x_2)= U(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\delta(\tau_1-\tau_2) </math>
4	Изобразить все связные топологически неэквивалентные диаграммы с 2n вершинами и двумя внешними концами, причем в каждой вершине сходится две сплошные и одна волнистая линия.
5	Производится интегрирование по координатам (<math> d^4 z = d\mathbf{r}d\tau </math>) каждой вершины.
6	Полученное выражение умножается на <math> (-1)^{n+F} </math>, n-порядок диаграммы, F-число замкнутых фермионных петель в ней.

Пользуясь этими правилами изобразим поправку первого порядка по возмущению к температурной функции Грина взаимодействующих частиц. Для этого нужно ограничиться линейным членом в разложение экспоненты. Тогда, привлекая во внимание теорему Вика, нарисуем все связные (любые две точки на диаграмме можно соединить линией) диаграммы первого порядка:

gren1

Соответствующее аналитическое выражение, например, для диаграммы 2 запишется следующим образом:

<math> Diag_2(x-y) = - \iint d^4 z d^4 w G_0(x-z)G_0(z-w)G_0(w-y)\mathfrak{U}(z-w). </math>

Для расчётов координатное представление оказывается неудобным, поэтому всю диаграммную технику проще сформулировать в импульсно-частотном представлении, пользуясь обычными правилами фурье-анализа. В таком представлении аналитическое выражение рассматриваемой диаграммы примет вид:

<math> Diag_2(\mathbf{p},\omega_n) = -\frac{T}{(2\pi)^3} \sum\limits_{\omega_m} \int d \mathbf{p}_1 G_0^2(\mathbf{p},\omega_n)G_0(\mathbf{p}_1,\omega_m)\mathfrak{U}(\mathbf{p}-\mathbf{p}_1,\omega_n-\omega_m), </math>

где функция Грина свободной системы имеет вид^[6]:

<math> G_0(\mathbf{p},\omega_n) = \frac{1}{i\omega_n-\varepsilon_0(\mathbf{p})+\mu}, </math> <math> \omega_n = (2 n +1)\pi T </math> — для фермионов, <math> \omega_n = 2 n \pi T </math> — для бозонов.

Правила температурной диаграммной техники. Импульсно-частотное представление.
	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение	Аналитическое выражение
1	Сплошная линия	grenp	<math> G_0(\mathbf{p},\omega_n) </math>
3	Волнистая линия	poten	<math>\mathfrak{U}(\mathbf{p},\omega_n)= U(\mathbf{p})</math>
4	Сопоставить линиям диаграммы внешние импульсы и частоты. Импульсы и частоты внутренних линий в каждой вершине должны удовлетворять законам сохранения <math> \sum \mathbf{p}=0,\sum \omega=0 </math>
5	По всем независимым импульсам производится интегрирование, по частотам — суммирование.
6	Полученное выражение умножается на <math> (-1)^{k}\frac{T^k}{(2 \pi)^{3 k }} (2 s+1)^F (\mp)^F </math>, k-порядок диаграммы, F-число замкнутых петель в диаграмме, s — спин частицы.

В простейшем случае (Л.Ландау) потенциал можно взять в виде <math> U(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2) \sim \delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2), , </math> что соответствует нулевому радиусу взаимодействия. Графически это соответствует стягиванию двух точек, которые соединены волнистой линией в одну.

Метод функционального интегрирования

При переходе от классической статистической механики к квантовой, интегрирование по канонически сопряженным переменным <math> p, q </math> заменяется на след, то есть на сумму по состояниям.^[7] Таким образом, статистическая сумма квантовой системы с оператором Гамильтона <math>\hat{H}</math> определяется как

<math> Z = Tr e^{-\beta \hat{H}} = \sum\limits_n {\langle n \vert e^{-\beta\hat{H}} \vert n \rangle}.</math>

Видно, что член под знаком суммы похож на матричный элемент оператора эволюции с точностью до замены <math>t\rightarrow - i\beta</math>. Этот матричный элемент дается формулой Фейнмана-Каца^[8]:

<math> \langle q_2 \vert e^{-i t\hat{H}} \vert q_1 \rangle = \int \prod\limits_t\frac{dp(t)dq(t)}{2\pi} \exp{\left(i\int\limits_{0}^{t}\left( p\dot{q} - H(p,q)\right)dt\right)}.</math>

Обратим внимание на то, что в функциональном интеграле величины <math> p, q, H(p,q)</math> являются классическими функциями, и при дальнейших вычислениях не возникает проблемы с коммутационными соотношениями. Сделаем в этой формуле поворот Вика и отождествим <math> q \sim \psi(x,\tau), p \sim i\psi^{+}(x,\tau) </math>, тогда выражений для статистической суммы преобразится к виду:

<math> Z = \int\limits_{B.C.} \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\psi^{+}e^{-S_{\beta}},\qquad

  B.C. = \begin{cases}
 \psi(x,\tau)=\psi(x,\tau+\beta),  & \text{Bose} \\
 \psi(x,\tau)=-\psi(x,\tau+\beta), & \text{Fermi}
 \end{cases},

</math>

где <math>S_{\beta}</math> действие температурной теории, интегрирование ведётся по полям с соответствующими граничными условиями (B.C.) В случае идеального газа

<math> S^{0}_{\beta} = \int\limits_{0}^{\beta}d\tau \int d\mathbf{x} \psi^{+}(x,\tau)\left( \partial_{\tau} + \frac{\Delta}{2 m}-\mu \right)\psi(x,\tau).</math>

Парное взаимодействие можно учесть в виде члена типа плотность-плотность^[9]

<math> S^{int}_{\beta} = \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\beta}d\tau \int d\mathbf{x} d\mathbf{x'}\psi^{+}(x,\tau)\psi(x,\tau)U(\mathbf{x}-\mathbf{x'})\psi^{+}(x',\tau)\psi(x',\tau).</math>

Как было сказано выше объекты <math> \psi(x,\tau), \psi^{+}(x,\tau) </math> не являются полевыми операторами. В случае фермионов они являются грассмановыми функциями, что является наследием антисимметричности фермионных волновых функций.

Определение температурной функции Грина

Определим функцию Грина как среднее от произведения нескольких полей с весом <math>\exp(-S_{\beta})</math>.^[10] Так парная корреляционная функция даётся выражением

<math> G(x,x',\tau,\tau')= \langle \psi^{+}(x,\tau)\psi(x',\tau')\rangle = \frac{1}{Z}\int\limits_{B.C.}\mathcal{D}\psi \mathcal{D}\psi^{+} \psi^{+}(x,\tau)\psi(x',\tau) e^{-S_{\beta}}, \quad S_{\beta} = S^{0}_{\beta} + S^{int}_{\beta}.</math>

Для корректного определения этого объекта, как можно показать, нужно доопределение <math> G(x,x',\tau = \tau') = G(x,x',\tau=\tau'+0).</math>

Случай свободных частиц

Вычислим функцию Грина для невзаимодействующих частиц. Как известно^[11], для этого нужно найти ядро оператора <math> \left(-\partial_{\tau} + \hat{H}_1 \right)^{-1}</math> c учётом граничных условий, то есть решить уравнение

<math> \left(-\partial_{\tau} + \hat{H}_1\right)G_0(x,x',\tau,\tau')=\delta(x-x')\delta(\tau-\tau').</math>

Уравнение элементарно решается в <math>p - \tau</math> представлении

<math> G_0(\mathbf{p},\tau,\tau')= e^{\xi_0(\mathbf{p})(\tau-\tau')}\left(\Theta(\tau'-\tau)\mp \frac{1}{e^{\xi_0(\mathbf{p})\beta}\pm 1}\right). </math>

Как видно, эта функция Грина совпадает с функцией Грина полученной с помощью мацубаровских операторов. Доопределение этой функции при совпадающих «временах» означает, что тета-функция в нуле равна нулю.

Взаимодействующие частицы

Рассмотрим, например, бозоны с межчастичным взаимодействием типа <math>U(x-x')=\lambda\delta(x-x'), \lambda>0. </math> Для вычисления по теории возмущений разложим экспоненту со взаимодействием в ряд по параметру <math>\lambda </math> и для простоты ограничимся первым порядком^[12]

<math> \langle \psi^{+}(x,\tau)\psi(x',\tau') \rangle ={\langle \psi^{+}(x,\tau)\psi(x',\tau') \rangle}_0 - \frac{\lambda}{2} \int\limits_{0}^{\beta}dt\int d\mathbf{y}{\langle \psi^{+}(x,\tau)\psi(x',\tau')\left(\psi^{+}(y,\tau)\psi(y,\tau)\right)^2\rangle}_0+O(\lambda^2). </math>

Построим соответствующую диаграммную технику

Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление.
	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение	Аналитическое выражение
1	Крест	field+	<math> \psi^{+}(x,\tau) </math>
2	Точка	field-	<math> \psi(x,\tau) </math>
3	Пропагатор	field±	<math>{\langle\psi^{+}(x,\tau)\psi(x',\tau')\rangle}_0 = G_{+,0}(x,x',\tau,\tau')</math>
4	Пропагатор	field-+	<math>{\langle\psi(x',\tau')\psi^{+}(x,\tau)\rangle}_0 = G_{0,+}(x',x,\tau',\tau)</math>
3	Вершина	field++--	<math> \left(\psi^{+}(x,\tau)\psi(x,\tau)\right)^2 </math>
5	Домножить каждую вершину на <math>(-\lambda/2)^n r/n!</math>, где n-порядок диаграммы, r-симметрийный коэффициент-число топологически эквивалентных графов.
5	По всем координатам вершин производится интегрирование.

Изобразим в первом порядке все связные графы

graph+

.

Существует только одна диаграмма, для неё <math> r = 4 </math>. Соответствующее аналитическое выражение для поправки

<math> Diag = - 2\lambda\int\limits_{0}^{\beta}dt\int dy G_{+,0}(x,y,\tau,t)G_{+,0}(y,y,t,t)G_{+,0}(y,x',t,\tau'), </math>

это выражение в точности совпадает с полученным ранее в операторном методе. Для рассматриваемого потенциала две диаграммы 1 и 2 становятся эквивалентными, поэтому для получения однопетлевого вклада, нужно выражение для одной из диаграмм умножить на 2. Конечно и в этом случае разумно перейти в импульсное представление. Правила построения диаграмм в импульсном представлении здесь такие же, как и ранее.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

См. также

[1] Шаблон:Книга

[2] Шаблон:Книга

[3] Шаблон:Книга

[4] Шаблон:Книга

[5] Шаблон:Книга

[6] Шаблон:Книга

[7] Шаблон:Книга

[8] Шаблон:Книга

[9] Шаблон:Книга

[10] Шаблон:Книга

[11] Шаблон:Книга

[12] Шаблон:Книга

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Температурные функции Грина

Содержание

Операторный подход

Определение температурных функций Грина

Случай свободных частиц

Взаимодействующие частицы

Метод функционального интегрирования

Определение температурной функции Грина

Случай свободных частиц

Взаимодействующие частицы

Примечания

Литература

См. также

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты