Русская Википедия:Тензорное произведение алгебр

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тензорное произведение алгебр — конструкция, дающая новую алгебру по двум данным алгебрам над коммутативным кольцом. Наиболее распространён случай, когда кольцо является полем.

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо, а A и B — R-алгебры. Поскольку A и B можно рассматривать как R-модули, их тензорное произведение

<math>A\otimes_R B</math>

также является R-модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на простых элементах вида a ⊗ b следующим образом Шаблон:Sfn

<math>(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2) = a_1 a_2\otimes b_1b_2</math>

и затем продолжив эту операцию по линейности на всю A ⊗_R B. Полученное кольцо является R-алгеброй, ассоциативной с единичным элементом, задаваемым 1_A ⊗ 1_B , где 1 _A и 1 _B — единичные элементы A и B. Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.

Тензорное произведение превращает категорию R-алгебр в симметричную моноидальную категорию.

Свойства

Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в A ⊗_R B, заданые следующим образом:

<math>a\mapsto a\otimes 1_B</math>

<math>b\mapsto 1_A\otimes b</math>

Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R-алгебр.

При этом тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R-алгебр. Здесь копроизведение дается более общим свободным произведением алгебр. Тем не менее тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:

<math>\text{Hom}(A\otimes B,X) \cong \lbrace (f,g)\in \text{Hom}(A,X)\times \text{Hom}(B,X) \mid \forall a \in A, b \in B: [f(a), g(b)] = 0\rbrace,</math>

где [-, -] обозначает коммутатор. Естественный изоморфизм задается идентификацией морфизма <math>\phi:A\otimes B\to X</math> в левой части с парой морфизмов <math>(f,g)</math> с правой стороны, где <math>f(a):=\phi(a\otimes 1)</math> и аналогично <math>g(b):=\phi(1\otimes b)</math>.

Литература

• Шаблон:Cite book