Русская Википедия:Тензоры в физической кинетике

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Масса, заряд, импульс и энергия в уравнениях механики сплошной среды

Основные уравнения механики сплошной среды – непрерывности, движения и энергии – демонстрируют причины изменения во времени плотностей трех основных механических величин: массы <math>\mathrm{m} </math>, импульса <math>\mathrm{\vec{p}} </math> и энергии <math>\varepsilon </math>.

При этом:

  • первое слагаемое левой части каждого из названных уравнений представляет собой изменение плотности (количества в единице объема) соответствующей величины в единицу времени;
  • второе – результат обмена этой величиной выделенного единичного объема с соседними объемами;
  • третье – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени под действием внешних сил;
  • правая часть – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени в результате столкновений частиц в объеме.

При описании газа заряженных частиц одной из форм уравнения непрерывности является закон сохранения заряда в дифференциальной форме, в котором количество вещества представлено не массой <math>\mathrm{m} </math>, а зарядом <math>\mathrm{q} </math>.

Общими характеристиками массы, заряда, импульса и энергии являются:

Однако, по одному признаку импульс в этом списке стоит особняком. А именно: масса, заряд и энергия – скаляры. Соответственно плотности массы, заряда и энергии – скаляры, плотности потока массы, заряда и энергии – векторы.

Импульс же сам является вектором. Соответственно, плотность импульса есть вектор – полностью описывается тремя величинами. Плотность же потока импульса полностью описывается уже девятью величинами: любая из трех проекций импульса вместе с частицей может переноситься в любом из трех пространственных направлений. Таким образом, плотность потока импульса представляет собой тензор второго ранга (кинетический тензор):

<math> \mathbf{\Pi}=\begin{array}{|ccc|}\Pi_{11}&\Pi_{12}&\Pi_{13}\\\Pi_{21}&\Pi_{22}&\Pi_{23}\\ \Pi_{31}&\Pi_{32}&\Pi_{33}\\ \end{array}</math>, <math> \mathrm{\Pi_{mn}=m\textstyle\int f( \vec \mathrm{v} )\mathrm{v}_m \mathrm{v}_n d^3\mathrm{v}}</math>,

где

  • <math> \Pi_{mn}</math> – количество <math> \mathrm{m}</math>-й проекции импульса, которое в единицу времени переносится через единицу поверхности в <math> \mathrm{n}</math>-м направлении.
  • <math> \mathrm{f( \vec \mathrm{v} )}</math> – функция распределения частиц по скоростям.

Можно заметить, что половина следа (суммы диагональных компонент) кинетического тензора равна плотности кинетической энергии:

<math> \mathrm{{ \Pi_{11}+\Pi_{22}+\Pi_{33}\over 2}={m\over 2}\textstyle\int f( \vec \mathrm{v} ) (\mathrm{v}_1^2+\mathrm{v}_2^2+\mathrm{v}_3^2)d^3\mathrm{v}=\varepsilon_K^{(V)}}</math>

В результате форма записи уравнения движения в традиционном представлении отличается от формы записи уравнений непрерывности:

<math> \mathrm{{ \partial \ \rho \over \partial\ t}+\nabla \cdot \vec p^{(V)}={ \delta\ \rho\over \delta\ t}}</math>

и энергии:

<math> \mathrm{{ \partial\ \varepsilon^{(V)} \over \partial\ t}+\nabla \cdot \vec q -\vec V \cdot \vec F^{(V)}={ \delta\ \varepsilon^{(V)} \over \delta\ t}}</math>.

А именно:

<math> \mathrm{{ \partial\ p_m^{(V)} \over \partial\ t}+\sum_{mn}{\partial\ \Pi_{mn} \over \partial\ r_n} -F_m^{(V)}={ \delta\ p_m^{(V)} \over \delta\ t}}</math>

где:

  • <math> \rho</math> – плотность массы;
  • <math> \mathrm{\vec p^{(V)}=\rho \vec V}</math>– плотность потока массы, математически тождественная плотности импульса;
  • <math> \mathrm{\vec V}</math> – среднемассовая скорость;
  • <math> \mathrm{\varepsilon^{(V)}=\varepsilon_K^{(V)}+{ \rho \over m}\varepsilon_\chi}

</math> – плотность энергии;

  • <math> \mathrm{\mathrm{\vec q={m\over 2}\textstyle\int f( \vec \mathrm{v} )\mathrm{v}^2 \vec \mathrm{v}\ d^3\mathrm{v}

+\textstyle\int f( \vec \mathrm{v} )\varepsilon_\chi \vec \mathrm{v}\ d^3\mathrm{v}}}</math> – плотность потока энергии;

  • <math> \varepsilon_\chi</math> – внутренняя энергия частицы;
  • <math> \mathrm{\vec F^{(V)}}

</math> – внешняя сила, действующая на единицу объема газа;

  • <math> \mathrmШаблон:\delta \over \delta\ t</math> – изменение в единицу времени в результате столкновений (здесь приведены уравнения для компоненты многокомпонентной среды).

Можно заметить три основных неудобства последней записи по сравнению с двумя предыдущими:

  • громоздкость;
  • необходимость записи в трех проекциях;
  • привязанность конкретно к декартовым координатам.

Последнее, например, означает, что в зависимости от системы координат, в которых решается задача, запись уравнения движения в проекциях будет иметь разные формы.

Такими же недостатками обладает и запись кинетического тензора в развернутой форме:

<math> \mathrm{\Pi_{mn}=\rho V_mV_n+\delta_{mn}P-\sigma_{mn}^I}</math>

и запись последнего слагаемого в приведенном выражении:

<math> \mathrm{\sigma_{mn}^I=\eta\Biggl({\partial\ V_m \over \partial\ r_n}+{\partial\ V_n \over \partial \ r_m}- {2 \over 3}\delta_{mn}\nabla \sdot \vec V\Biggr)}</math>

где  

Наличие названных недостатков скорее всего можно объяснить тем, что кинетика в физике и тензорный анализ в математике – это сравнительно молодые направления в науке, возникшие уже после того, как натурфилософия, фактически, уже разделилась на отдельные отрасли: физику, химию, математику и т.п. В отличие от Эйлера, Гаусса, Стокса физики уже были только физиками, а математики – только математиками.

В результате тензорный анализ в математике, с одной стороны, оказался достаточно отстраненным от проблем современной физики и, с другой стороны, не сформировал еще общепринятой и достаточно компактной символики.

Необходимость выбора

Развитие математического аппарата любой естественной науки часто ставит исследователя перед выбором:

1. Оставаться в кругу уже определенных категорий, правил и символики, за счет громоздкости, необщности и большого количества выражений.

2. Обобщить понятия, упростить и сократить количество выражений за счет введения новых категорий, правил и символики.

Первый выбор оправдан в случае, когда круг объектов с особенными свойствами узок и редко употребляется в соответствующем направлении науки. В противоположном случае, необходимость дополнительных интеллектуальных усилий в течение определенного времени очень скоро окупается экономией времени и средств представления (бумаги, мела, компьютерной памяти) в дальнейшем массированном обращении с соответствующими объектами.

Примером преимущества второго выбора в математике и физике является появление векторного анализа, возникшего ввиду трехмерности геометрического пространства.

Первый выбор – использование категорий исключительно скалярного анализа – требовал бы в данном случае использования трех определений в описании положения объекта – различных в различных системах координат (декартовой, цилиндрической или сферической), трех определений в описании изменения положения во времени. При этом использование исключительно скалярной символики означало бы разные правила дифференцирования характеристик положения по времени для получения соответствующих характеристик изменения положения. В каждой задаче вместо одного уравнения движения необходимо было бы записывать три, строго оговаривая при этом систему координат, в которой справедлива такая запись. Точно так же пришлось бы поступать в выражениях для связи потенциальной энергии и силы, характеристик электромагнитного поля и движения частиц и т.п.

Второй выбор – введение понятия вектора – означает необходимость усвоения немногих новых определений: вектор, скалярное произведение, векторное произведение и т.п., но легко окупается следующими выгодами:

- вектор сохраняет свою целостность в любой системе координат, в то время как значения проекций меняются;

- правила преобразования положения в скорость, скорости в ускорение как векторов, связь между скоростью и импульсом, характеристиками поля и силой как между векторами сохраняются в различных системах координат.

Наиболее существенную новизну сравнительно со скалярным анализом представляет здесь само понятие вектора – нужно просто привыкнуть к тому, что в геометрии и математике одна величина может характеризоваться не одним, а тремя числами – по числу пространственных измерений в нашей Вселенной. В операциях с кинетическим тензором мы сталкиваемся с названной выше необходимостью выбора – по-прежнему оперировать объектами двух типов (векторами и скалярами), описывая перенос импульса девятью скалярами или тремя векторами (со всеми издержками, названными выше) или ввести понятие и правила операций с новыми объектами, характеризующимися девятью числами. Массовость обращений к переносу импульса в механике сплошной среды скорее располагает ко второму выбору. Кроме того, есть соображения, по которым оптимальным здесь становится не просто определение нового класса объектов, но введение некоего "над-класса", к которому равно относятся и скаляры, и векторы и вновь вводимые объекты. Таким "над-классом" в математике и физике являются тензоры соответствующих рангов.

Понятие тензора определенного ранга

В нашем случае тензоры являются математическим представлением конкретных физических величин, но не операторами в матричном анализе. Предлагаемая символика и правила относятся именно к такому случаю и не обязательно полностью соответствуют символике матричного анализа.

Тензором определенного ранга <math> \mathrm{M}</math> в <math> \mathrm{I}</math>-мерном пространстве называют величину, которая полностью описывается <math> \mathrm{I^M}</math> числами – элементами тензора. Предметом механики сплошной среды является обычное трехмерное пространство (<math> \mathrm{I=3}</math>), поэтому в дальнейшем мы и будем говорить только о нем. Таким образом, в нашем случае тензором ранга <math> \mathrm{M}</math> является величина, которая полностью описывается <math> \mathrm{3^M}</math> элементами.

В таком случае:

  • скаляр, имеющий один элемент, есть тензор нулевого ранга;
  • вектор, имеющий три элемента, есть тензор первого ранга.

Появление нового класса объектов требует новой символики. А именно:

  • единственный элемент, из которого состоит скаляр <math> \Phi</math>, не требует индекса в записи значения;
  • каждый из трех элементов <math> \mathrm{A_m}</math> вектора <math> \mathrm{\vec A}</math> обозначается индексом <math> \mathrm{m}</math>, изменяющимся от 1 до 3 – соответственно числу измерений геометрического пространства;
  • каждый из <math> \mathrm{3^M}</math> элементов <math> \mathrm{A^{(m_1 m_2 m_3...m_{M-1} m_M)}}</math>  тензора <math> \mathrm{M}</math>-го ранга <math> \mathbf A</math> обозначается <math> \mathrm{M}</math> индексами <math> \mathrm{m_1 m_2 m_3...m_{M-1} m_M}</math>, изменяющимися от 1 до 3 – в дальнейшем для краткости вместо <math> \mathrm{m_1 m_2 m_3...m_{M-1} m_M}</math> будем писать <math> \mathrm{m_1...m_M}</math>.

В тензорном анализе, так же, как и в векторном, важным является понятие базиса, основанное на определении единичного тензора.

Единичным тензором <math> \mathrm{M}</math>-го ранга  есть тензор <math> \mathrm{e^{(m_1...m_M)}}</math>, в котором равны нулю все элементы, кроме равного единице <math> \mathrm{m_1...m_M}</math>-го элемента.

В таком случае:

  • <math> e^{(\ \ )}</math>: единичный тензор нулевого ранга есть единица (единичный скаляр);
  • <math> \mathrm{e^{(m)}=i_m}</math>: единичный тензор первого ранга есть орта (единичный вектор).

Операции с тензорами

Для облегчения восприятия правила операций с тензорами покажем сравнительно с правилами аналогичных операций с векторами.

 Правило 1. Сложение тензоров и умножение тензора на скаляр

Вектор <math> \mathrm{\vec D}</math> равен сумме векторов <math> \mathrm{\vec A}</math> и <math> \mathrm{\vec B}</math>, если элемент вектора <math> \mathrm{\vec D}</math> равен сумме соответствующих элементов векторов  <math> \mathrm{\vec A}</math> и <math> \mathrm{\vec B}</math>:

1.1. <math> \mathrm{\vec D=\vec A+\vec B}</math>          <math> \longrightarrow</math>          <math> \mathrm{D_m=A_m+B_m}</math>.

Прямым следствием правила сложения векторов является правило умножения вектора на скаляр: вектор <math> \mathrm{\vec D}</math> равен произведению вектора <math> \mathrm{\vec A}</math> и скаляра <math> \mathrm{C}</math>, если элемент вектора <math> \mathrm{\vec D}</math>  равен произведению соответствующего элемента вектора <math> \mathrm{\vec A}</math> и скаляра <math> \mathrm{C}</math>:

1.2. <math> \mathrm{\vec D=C\ \vec A}</math>           <math> \longrightarrow</math>          <math> \mathrm{D_m=C\ A_m}</math>.

Тензор <math> \mathrm{M}</math>-го ранга <math> \mathbf D</math> равен сумме тензоров такого же ранга <math> \mathbf A</math> и <math> \mathbf B</math>, если элемент тензора <math> \mathbf D</math> равен сумме соответствующих элементов тензоров <math> \mathbf A</math> и <math> \mathbf B</math>:

1.3. <math> \mathbf D=\mathbf A+\mathbf B</math>           <math> \longrightarrow</math>       <math> \mathrm{D^{(m_1...m_M)}=A^{(m_1...m_M)}+B^{(m_1...m_M)}}</math>.

Прямым следствием правила сложения тензоров является правило умножения тензора на скаляр: тензор <math> \mathbf D</math> равен произведению тензора <math> \mathbf A</math> и скаляра <math> \mathrm{C}</math>, если элемент тензора <math> \mathbf D</math> равен произведению соответствующего элемента тензора <math> \mathbf A</math> и скаляра <math> \mathrm{C}</math>:

1.4. <math> \mathrm{\mathbf D=C\ \mathbf A}</math>           <math> \longrightarrow</math>       <math> \mathrm{D^{(m_1...m_M)}=C\ A^{(m_1...m_M)}}</math>.

Правило 2. Запись тензоров как суммы элементов

Вектор <math> \mathrm{\vec A}</math> может быть представлен как векторная сумма элементов с использованием орт:

1.5. <math> \mathrm{\vec A=\sum_{m}i_m A_m}</math>.

При этом нет смысла говорить о результате произведения <math> \mathrm{i_m A_m}</math> – единственный смысл записи <math> \mathrm{i_m A_m}</math> состоит в указании, что величине <math> \mathrm{A_m}</math> равен именно  <math> \mathrm{m}</math>-й элемент вектора .

Тензор <math> \mathrm{M}</math>-го ранга <math> \mathbf A</math> может быть представлен как тензорная сумма элементов с использованием единичных тензоров:

1.6. <math> \mathrm{\mathbf A =\sum_{m_1...m_M}e^{(m_1...m_M)} A^{(m_1...m_M)}}</math>.

При этом нет смысла говорить о результате произведения <math> \mathrm{e^{(m_1...m_M)} A^{(m_1...m_M)}}</math> – единственный смысл записи <math> \mathrm{e^{(m_1...m_M)} A^{(m_1...m_M)}}</math> состоит в указании, что величине <math> \mathrm{A^{(m_1...m_M)}}</math>  равен именно <math> \mathrm{m_1...m_M}</math>-й элемент тензора <math> \mathbf A</math>.

Правило 3. Инвариантность произведения скаляра и единичного тензора

"Результат" произведения скаляра и орты не зависит от последовательности сомножителей:

1.7. <math> \mathrm{i_m A_m=A_m i_m}</math>.

"Результат" произведения скаляра и единичного тензора не зависит от последовательности сомножителей:

1.8.  <math> \mathrm{e^{(m_1...m_M)} A^{(m_1...m_M)}=A^{(m_1...m_M)} e^{(m_1...m_M)}}</math>.

Правило 4. Тензорное произведение и представление единичных тензоров через орты

Внимание !!! Правило 4 является, фактически, единственным новым правилом тензорного анализа, не представленным в векторном анализе.

Тензорным произведением тензора <math> \mathrm{M}</math>-го ранга <math> \mathbf A</math> и тензора <math> \mathrm{N}</math>-го ранга <math> \mathbf B</math> является тензор <math> \mathrm{M+N}</math>-го ранга <math> \mathbf D</math>, если <math> \mathrm{m_1...m_M n_1...n_N}</math>-й элемент тензора <math> \mathbf D</math> равен произведению <math> \mathrm{m_1...m_M}</math>-го элемента тензора <math> \mathbf A</math> и <math> \mathrm{n_1...n_N}</math>-го элемента тензора <math> \mathbf B</math>:

1.9. <math> \mathbf D=\mathbf A\ \mathbf B</math>           <math> \longrightarrow</math>       <math> \mathrm{D^{(m_1...m_M n_1...n_N)}=A^{(m_1...m_M)} B^{(n_1...n_N)}}</math>.

Таким образом, тензорное скаляра и тензора произвольного ранга есть, фактически, "простое" произведение скаляра на тензор (1.4).

С учетом (9) единичный тензор <math> \mathrm{M}</math>-го ранга может быть представлен как кратное тензорное произведение орт:

1.10. <math> \mathrm{e^{(m_1...m_M)}=i_{m_1}...i_{m_M}}</math>.

Выражения (1.6) и (1.8) с использованием (1.10) можно записать так:

1.11, <math> \mathrm{\mathbf A =\sum_{m_1...m_M}i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}}</math>,

1.12. <math> \mathrm{i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}=i_{m_1}...i_{m_i}A^{(m_1...m_M)}i_{m_{i+1}}...i_{m_M}}</math>.

В дальнейшем вместо (1.6) можно использовать запись (1.11) как более удобную в случаях, которые будут названы ниже.

Правило 5. Произведение тензоров

Существуют три вида произведений тензоров: тензорное, векторное и скалярное. Каждому из произведений соответствует знак: пробел в тензорном, крестик в векторном и точка в скалярном. Кроме того, удобно использование обобщенного знака произведения "<math> \circ</math>", соответствующего трем различным случаям:

1.13.   <math> \circ=\bigl(</math> "    ", " × ", " · "<math> \bigr)</math>.

Правило 5 является прямым следствием (1.11) и (1.12) – скаляры в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений – знак произведения тензоров фактически относится к ближайшим ортам:

1.14. <math> \mathrm{\vec A\circ \vec B=\sum_{mn}\bigl(i_mA_m\bigr)\circ\bigl(i_nB_n\bigr)= \sum_{mn}\bigl(i_m\circ i_n\bigr)A_mB_n=\sum_{mn}A_mB_n\bigl(i_m\circ i_n\bigr)}</math>,

1.15. <math> \mathrm{\mathbf A\circ \mathbf B=\sum_{\begin{matrix} m_1...m_M \\ n_1...n_N \end{matrix}} \bigl(i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}\bigr)\circ\bigl(i_{n_1}...i_{n_N}B^{(n_1...n_N)}\bigr)=}</math>

<math> \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} m_1...m_M \\ n_1...n_N \end{matrix}} i_{m_1}...i_{m_{M-1}}A^{(m_1...m_M)}\bigl(i_{m_M}\circ i_{n_1}\bigr)i_{n_2}...i_{n_N}B^{(n_1...n_N)}=}</math>

<math> \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} m_1...m_M \\ n_1...n_N \end{matrix}} A^{(m_1...m_M)}B^{(n_1...n_N)}i_{m_1}...i_{m_{M-1}}\bigl(i_{m_M}\circ i_{n_1}\bigr)i_{n_2}...i_{n_N}}</math>.

Правило 6. Произведение орт

Тензорное, векторное и скалярное произведение орт имеют следующие значения:

1.16. <math> \mathrm{i_m i_n=e^{(mn)}}</math>,

1.17. <math> \mathrm{i_m \times i_m=0}</math>,

<math> \mathrm{i_1 \times i_2=-i_2 \times i_1=i_3}</math>,

<math> \mathrm{-i_1 \times i_3=i_3 \times i_1=i_2}</math>,

<math> \mathrm{i_2 \times i_3=-i_3 \times i_2=i_1}</math>,

1.18. <math> \mathrm{i_m \cdot i_n=\delta_{mn}}</math>,

где   <math> \mathrm{\delta_{mn}}</math> – символ Кронекера:

1.19. <math>\mathrm{{\delta_{mn} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mathrm{m=n} \\ 0, & \mathrm{m \ne n} \end{matrix}\right.}}</math>.

Правило 7. Извлечение элемента из вектора и тензора

Произвольный вектор <math> \mathrm{\vec A}</math>  в различных выражениях может встречаться не в прямой записи (1.5), а как результат операций с другими векторами или скалярами. При необходимости "извлечения" конкретной проекции вектора <math> \mathrm{\vec A}</math> из такой записи можно на основании (1.5) и (1.18) использовать операцию:

1.20. <math> \mathrm{A_m=i_m\cdot\vec A=\vec A\cdot i_m}</math>

Аналогично, на основании (11) и (18) можно записать для элемента тензора ранга выше нулевого:

1.21. <math> \mathrm{A^{(m_1...m_M)}=i_{m_M}\cdot\Bigl(...\cdot\Bigl(i_{m_1}\cdot \mathbf A\Bigr)\Bigr)= \Bigl(\Bigl(\mathbf A \cdot i_{m_M}\Bigr)\cdot...\Bigr)\cdot i_{m_1}}</math>.

Дифференциальные операторы в применении к тензорам

Правило 8. Операторы Гамильтона и Лапласа

Любой из трех знаков (1.13) может использоваться не только в произведениях, но и в обозначениях действия оператора Гамильтона <math> \nabla</math>, имеющего, как известно, запись:

1.22. <math> \mathrm{\nabla =\sum_{n}i_n {\partial \over \partial\ r_n}}</math>.

Результатом тензорного действия оператора <math> \nabla</math> является градиент, векторного – ротор, скалярного – дивергенция. К сожалению,  в большинстве источников отсутствуют общие правила развернутой записи результатов действия оператора <math> \nabla</math> в произвольной (не декартовой) системе координат. Приводятся общие записи в декартовой системе – единственной системе координат с неизменными ортами, а также частные случаи записи для наиболее часто используемых ортогональных криволинейный координат – сферических, цилиндрических.

Правильные результаты в использовании оператора можно, однако, получить, распространив Правило 5 на скалярные дифференциальные операторы – скалярные дифференциальные операторы в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений:

1.23. <math> \mathrm{\nabla\circ =\biggl(\sum_{n}i_n {\partial \over \partial\ r_n}\biggr)\circ=\sum_{n}i_n \circ{\partial \over \partial\ r_n}}</math>.

Таким образом, имеем:

  • градиент скаляра:

1.24. <math> \mathrm{\nabla \Phi =\sum_{n}i_n {\partial\ \Phi \over \partial\ r_n}}</math>;

  • ротор вектора:

1.25. <math> \mathrm{\nabla\times \vec A =\sum_{n}i_n \times{\partial\ \vec A \over \partial\ r_n} =\sum_{nm}i_n \times{\partial \over \partial\ r_n} \bigl(i_mA_m\bigr) =\sum_{nm} \biggl(i_n \times i_m{\partial\ A_m \over \partial\ r_n} +i_n \times {\partial\ i_m \over \partial\ r_n}A_m\biggr)}</math>;

  • дивергенция вектора:

1.26. <math> \mathrm{\nabla\cdot \vec A =\sum_{n}i_n \cdot{\partial\ \vec A \over \partial\ r_n} =\sum_{nm}i_n \cdot{\partial \over \partial\ r_n} \bigl(i_mA_m\bigr) =\sum_{nm} \biggl(i_n \cdot i_m{\partial\ A_m \over \partial\ r_n} +i_n \cdot {\partial\ i_m \over \partial\ r_n}A_m\biggr)}</math>.

Аналогично (1.24) – (1.26) правило (1.23) в применении к тензору дает:

  • градиент тензора произвольного ранга:

1.27. <math> \mathrm{\nabla \mathbf{A} =\sum_{n}i_n {\partial\ \mathbf{A} \over \partial\ r_n} =\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}i_n {\partial \over \partial\ r_n} \biggl(i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}\biggr)=}</math>

<math> \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}\biggl(i_ni_{m_1}...i_{m_M} {\partial\ A^{(m_1...m_M)} \over \partial\ r_n} +i_n{\partial \over \partial\ r_n}(i_{m_1}...i_{m_M})A^{(m_1...m_M)}\biggr)}</math>;

  • ротор тензора ранга выше нулевого:

1.28. <math> \mathrm{\nabla \times \mathbf{A} =\sum_{n}i_n \times {\partial\ \mathbf{A} \over \partial\ r_n} =\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}i_n \times {\partial \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}\biggr) =}</math>

<math> \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}\biggl(i_n \times i_{m_1}...i_{m_M} {\partial\ A^{(m_1...m_M)} \over \partial\ r_n} +i_n \times {\partial \over \partial\ r_n}(i_{m_1}...i_{m_M})A^{(m_1...m_M)}\biggr)}</math>;

  • дивергенция тензора ранга выше нулевого:

1.29. <math> \mathrm{\nabla \cdot \mathbf{A} =\sum_{n}i_n \cdot {\partial\ \mathbf{A} \over \partial\ r_n} =\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}i_n \cdot {\partial \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}\biggr) =}</math>

<math> \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}} \biggl(i_n \cdot i_{m_1}...i_{m_M}{\partial\ A^{(m_1...m_M)} \over \partial\ r_n} +i_n \cdot {\partial \over \partial\ r_n}(i_{m_1}...i_{m_M})A^{(m_1...m_M)}\biggr)}</math>.

Обобщенно выражения (1.27) – (1.29) можно записать так:

1.30. <math> \mathrm{\nabla \circ \mathbf{A} =\sum_{n}i_n \circ {\partial\ \mathbf{A} \over \partial\ r_n} =\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}i_n \circ \biggl({\partial \over \partial\ r_n}i_{m_1}...i_{m_M}A^{(m_1...m_M)}\biggr) =}</math>

<math> \mathrm{=\sum_{\begin{matrix} n \\ \mathrm{m_1...m_M} \end{matrix}}\biggl(i_n \circ i_{m_1}...i_{m_M}{\partial\ A^{(m_1...m_M)} \over \partial\ r_n} +i_n \circ {\partial \over \partial\ r_n}(i_{m_1}...i_{m_M})A^{(m_1...m_M)}\biggr)}</math>.

Правила дифференцирования производных орт в (1.27) – (1.30) аналогичны правилам дифференцирования произведений скаляров:

1.31. <math> \mathrm{{\partial \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_1}...i_{m_M}\biggr)= {\partial\ i_{m_1} \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_2}...i_{m_M}\biggr)+ i_{m_1}{\partial\ i_{m_2} \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_3}...i_{m_M}\biggr)+ i_{m_1} i_{m_2}{\partial\ i_{m_3} \over \partial\ r_n}\biggl(i_{m_4}...i_{m_M}\biggr)+...}</math>

При этом конкретная система координат представлена просто набором значений производных орт по проекциям координаты <math> \mathrmШаблон:\partial\ i m \over \partial\ r n</math>.

В тензорном анализе, как и в векторном, используется также оператор Лапласа <math> \Delta</math>:

1.32. <math> \Delta=\nabla^2=\nabla \cdot \nabla</math>.

Результат действия оператора <math> \Delta</math> на произвольный тензор в произвольной ортогональной системе координат можно получить с использованием тех же, что и выше, правил:

1.33. <math> \mathrm{\Delta \mathbf{A} =\sum_{mn}i_m \cdot {\partial \over \partial\ r_m} \biggl(i_n {\partial\ \mathbf{A} \over \partial\ r_n}\biggr)= \sum_{m}\biggl({\partial^2\mathbf{A}\over \partial\ r_m^2}+ \biggl(\sum_{n}i_m \cdot{\partial\ i_n\over \partial\ r_m}\Biggr) {\partial\ \mathbf{A}\over \partial\ r_n}\Biggr)}</math>.

Некоторые характеристики тензоров второго ранга

Тензор <math> \mathbf{A}</math> второго ранга может быть представлен как матрица:

1.34. <math> \mathrm{\mathbf{A}=\begin{array}{|ccc|}A^{(11)}&A^{(12)}&A^{(13)}\\A^{(21)}&A^{(22)}&A^{(23)}\\ A^{(31)}&A^{(32)}&A^{(33)}\\ \end{array}}</math>.

Следом <math> \mathrm{Tr\mathbf{A}}</math> тензора второго ранга <math> \mathbf{A}</math> называют сумму его диагональных элементов:

1.35. <math> \mathrm{Tr\mathbf{A}=\sum_{n}A^{(nn)}=A^{(11)}+A^{(22)}+A^{(33)}}</math>.

  • Сопряженный тензор

Тензор <math> \mathbf{A}^*</math>  называют сопряженным тензору <math> \mathbf{A}</math>, если элементы тензора <math> \mathbf{A}^*</math> получаются перестановкой индексов элементов тензора <math> \mathbf{A}</math>:

1.36. <math> \mathbf{B}=\mathbf{A}^*</math>           <math> \longrightarrow</math>       <math> \mathrm{B^{(mn)}=A^{(nm)}}</math>.

Можно заметить, что:

1.37. <math> (\mathbf{A}^*)^*\equiv \mathbf{A}</math>.

Тензор <math> \mathbf{A}</math> называют симметричным, если его элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:

1.38. <math> \mathbf{A}=\mathbf{A}^*</math>           <math> \longrightarrow</math>       <math> \mathrm{A^{(mn)}=A^{(nm)}}</math>.

  • Унитарный тензор

Унитарный тензор <math> \mathbf{\boldsymbol{\delta}}</math> есть тензор второго ранга, недиагональные элементы которого равны нулю, а диагональные – единице:

1.39. <math> \mathrm{\delta^{(mn)}=\delta_{mn}}</math>            <math> \longrightarrow</math>       <math> \mathrm{\mathbf{\boldsymbol{\delta}}=\begin{array}{|ccc|}1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}= \sum_{mn}i_m i_n\delta_{mn}=\sum_{n}i_n i_n}</math>.

Можно показать следующие свойства унитарного тензора:

1.40. <math> \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \sdot \mathbf{A}=\mathbf{A}</math>,

1.41. <math> \nabla \sdot\bigl(\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ \mathbf{A}\bigr)=\nabla \mathbf{A}</math>,

1.42. <math> \nabla \sdot\bigl(\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\sdot \mathbf{A}\bigr)=\nabla \mathbf\sdot{A}</math>,

1.43. <math> \nabla \sdot\bigl(\vec A\ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \bigr)= \mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ \nabla \sdot\vec A</math>,

1.44. <math> \nabla \sdot\bigl({\scriptstyle \mathbf{\boldsymbol{\delta}}}\vec A{\scriptstyle \mathbf{\boldsymbol{\delta}}} \bigr)=\bigl(\nabla\vec A \bigr)^*


</math>,

где тензор, сопряженный градиенту вектора <math> \mathrm{\vec A} </math>:

1.45. <math> \mathrm{\bigl(\nabla\vec A \bigr)^*=\sum_{n}{\partial\ \vec A \over \partial\ r_n}i_n}</math>

и внутреннее произведение  унитарного тензора и вектора <math> \vec A </math>:

1.46. <math> \mathrm{{\scriptstyle \mathbf{\boldsymbol{\delta}}}\vec A{\scriptstyle \mathbf{\boldsymbol{\delta}}}=\sum_{n}i_n\vec A\ i_n} </math>.

Симметричные тензоры. Операция симметрии

Тензор <math> \mathbf{A}</math> произвольного ранга является симметричным, если перестановка любой пары индексов не изменяет значение компоненты тензора, например:

- для симметричных тензоров 2-го ранга:

1.47. <math> \mathrm{A^{(mn)}=A^{(nm)}}</math>;

- для симметричных тензоров 3-го ранга:

1.48. <math> \mathrm{A^{(kmn)}=A^{(knm)}=A^{(mkn)}=A^{(mnk)}=A^{(nkm)}=A^{(nmk)}}</math>;

- для симметричных тензоров 4-го ранга:

1.49. <math> \mathrm{A^{(ikmn)}=A^{(iknm)}=A^{(imkn)}=A^{(imnk)}=A^{(inkm)}=A^{(inmk)}=}</math>

<math> \mathrm{A^{(ikmn)}=A^{(kinm)}=A^{(mikn)}=A^{(mink)}=A^{(nikm)}=A^{(nimk)}=}</math>

<math> \mathrm{A^{(ikmn)}=A^{(knim)}=A^{(mkin)}=A^{(mnik)}=A^{(nkim)}=A^{(nmik)}=}</math>

<math> \mathrm{A^{(kmni)}=A^{(knmi)}=A^{(mkni)}=A^{(mnki)}=A^{(nkmi)}=A^{(nmki)}}</math>

и так далее.

Можно заметить, что число независимых комбинаций индексов для тензора <math> \mathrm{n}</math>-го ранга равно <math> \mathrm{n!}</math>.

Любой тензор <math> \mathrm{\mathbf{A}^{[n]}}</math>  произвольного ранга <math> n</math> может быть преобразован в симметричный тензор  с помощью операции симметрии:

1.50.<math> \mathrm{\bigl\lfloor\mathbf{A}^{[n]}\bigr\rfloor={1 \over n!}\sum\mathbf{A}^{[n]*}}</math>,

где <math> \mathrm{\sum\mathbf{A}^{[n]*}}</math>  – сумма исходного тензора <math> \mathrm{\mathbf{A}^{[n]}}</math>  и всех тензоров, получаемых путем перестановки индексов его компонент аналогично (1.47) – (1.49).

Можно заметить, что если исходный тензор <math> \mathrm{\mathbf{A}^{[n]}}</math>  уже является симметричным, имеет место <math> \mathrm{\bigl\lfloor\mathbf{A}^{[n]}\bigr\rfloor=\mathbf{A}^{[n]}}</math>.

Тензорная степень вектора. Бином и дифференциал тензорной степени вектора

Тензор <math> \mathrm{\mathbf{A}^{[n]}}</math> произвольного ранга <math> \mathrm{n}</math> может быть результатом кратного тензорного произведения одного и того же вектора <math> \mathrm{\vec a}</math>:

1.51. <math> \mathrm{\mathbf{A}^{[n]}=\underbrace{ \vec a\ \vec a...\vec a }_{n}}</math>.

Для краткости можно использовать символ тензорной степени вектора (итерации вектора):

1.52. <math> \mathrm{\underbrace{ \vec a\ \vec a...\vec a }_{n}=\vec a^{\lceil n\rceil}}</math>.

Показатель тензорной степени нужно записывать в скобках <math> \mathrm{\lceil n\rceil}</math>, чтобы не путать тензорный квадрат вектора:

1.53. <math> \mathrm{\vec a^{\lceil 2\rceil}=\vec a\ \vec a}</math>

с принятым в векторном анализе обозначением квадрата вектора (квадрата модуля):

1.54. <math> \mathrm{\vec a^2=\vec a\sdot \vec a=|\vec a|^2=a^2}</math>.

Можно убедиться, что:

1.55. <math> \mathrm{\bigl\lfloor\vec a^{\lceil n\rceil}\bigr\rfloor\equiv\vec a^{\lceil n\rceil}}</math>.

В алгебре скаляров существует запись для степени суммы скаляров (бином Ньютона):

1.56. <math> \mathrm{\bigl(a+b\bigr)^n=\sum_{k=0}^n{n! \over k!(n-k)!}a^{n-k}b^k}</math>.

С использованием принятых здесь обозначений можно показать для тензорной степени суммы векторов:

1.57. <math> \mathrm{\bigl(\vec a+\vec b\bigr)^{\lceil n\rceil}=\sum_{k=0}^n{n! \over k!(n-k)!} \bigl\lfloor\vec a^{\lceil n-k\rceil}\vec b^{\lceil k\rceil}\bigr\rfloor}</math>.

Для дифференциала степени скаляра известно, что:

1.58. <math> \mathrm{d\ a^n=d(\underbrace{ a\ a... a}_{n})= (\underbrace{ d\ a(\underbrace{ a\ a... a}_{n-1}) + a\ d\ a(\underbrace{a\ a... a}_{n-2})+... }_{n})= n\ a^{\lceil n-1\rceil}d\ a}</math>.

Можно показать, что для дифференциала тензорной степени вектора:

1.59. <math> \mathrm{d\ \vec a^{\lceil n\rceil}=d(\underbrace{ \vec a\ \vec a...\vec a}_{n})= (\underbrace{ d\ \vec a(\underbrace{ \vec a\ \vec a...\vec a}_{n-1}) +\vec a\ d\ \vec a(\underbrace{ \vec a\ \vec a...\vec a}_{n-2})+... }_{n})= n\lfloor\vec a^{\lceil n-1\rceil}d\ \vec a\rfloor}</math>.

Кратное скалярное произведение

В операциях с тензорами часто встречается необходимость кратного скалярного произведения тензоров, для которого можно использовать следующую символику:

1.60. <math> \mathrm{i_{m_1}...i_{m_m}\overset{(k)}{\bullet}i_{n_1}...i_{n_n}= i_{m_1}...i_{m_{m-k}}\bigl(i_{m_{m-k+1}}\sdot i_{n_k}\bigr)...\bigl(i_{m_m}\sdot i_{n_1}\bigr) i_{n_{k+1}}...i_{n_n}}</math>,

то есть:

1.61. <math> \mathrm{\mathbf{C}^{[m+n-2k]}=\mathbf{A}^{[m]}\overset{(k)}{\bullet}\mathbf{B}^{[n]} \sum_{\begin{matrix} m_1...m_m \\ \mathrm{n_1...n_n} \end{matrix}}A^{(m_1...m_m)}B^{(n_1...n_n)} i_{m_1}...i_{m_m}\overset{(k)}{\bullet} i_{n_1}...i_{n_n}}</math>

и

1.62. <math> \mathrm{C^{(m_1...m_{m+n-2k})}= \sum_{k_1...k_k}A^{(m_1...m_{m-k}k_1...k_k)}B^{(k_1...k_km_{m-k+1}...m_{m+n-2k})}}</math>.

Например, с использованием символа кратного скалярного произведения выражение (1.21) приобретает более компактную форму:

1.63. <math> \mathrm{A^{(m_1...m_m)}=i_{m_m}...i_{m_1}\overset{(m)}{\bullet}\mathbf{A}^{[m]} =\mathbf{A}^{[m]}\overset{(m)}{\bullet}i_{m_m}...i_{m_1}}</math>

Уравнение движения. кинетический тензор и тензор вязких напряжений

 Использование предложенной символики и правил позволяет записать уравнение движения в универсальной и компактной форме без привязки к конкретной системе координат:

1.64. <math> \mathrm{{ \partial\ \vec p^{(V)} \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \mathbf{\Pi}={ \delta\ \vec p^{(V)} \over \delta\ t}}

</math>

Аналогично, для развернутой формы записи кинетического тензора имеем:

1.65. <math> \mathrm{\mathbf{\Pi}=\rho \vec V\ \vec V+\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ P-{\boldsymbol{\sigma}}^I}</math>

и для тензора вязких напряжений:

1.66. <math> \mathrm{{\boldsymbol{\sigma}}^I =2\ \eta\Biggl(\Bigl\lfloor{\nabla V}\Bigr\rfloor- {{\boldsymbol{\delta}} \over 3}\nabla \sdot \vec V\Biggr)}</math>.

Следует отметить, что последнее выражение, так же как и выражение для кондуктивной составляющей плотности потока энергии (теплопроводность):

1.67. <math> \mathrm{\vec q^\kappa=-\kappa\nabla T}</math>

представляют собой приближенные формы, применимые только при описании относительно плотных средств, когда производными величин <math> \mathrm{{\boldsymbol{\sigma}}^I}</math> и <math> \mathrm{\vec q^\kappa}</math> по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с их изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений.

Одним из часто встречающихся недоразумений, связанных с "урезанностью" (1.66) и (1.67) является представление о том, что причинам вязкого переноса импульса и теплопроводности являются переменность среднемассовой скорости и температуры в пространстве. Аналогично, в диффузионном приближении, когда производными среднемассовой скорости по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с ее изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений, причиной течения называют переменность давления в пространстве.

На самом деле, с учетом отброшенных в обоих названных случаях слагаемых течение, теплопроводность, вязкий перенос импульса, переменность скорости, температуры и давления являются следствиями общей в каждом из названных случаев причины. Например: изменение среднемассовой скорости и давления – как следствия переменности сечения канала в реактивных системах.

Уравнения моментов функции распределения

Механические моменты и моменты функции распределения

Основные уравнения газодинамики представляют собой уравнения моментов функции распределения частиц по скоростям. Функция <math> \mathrm{f_\alpha(\vec \mathrm{v})}</math>

2.1. <math> \mathrm{d^2N_\alpha=f_\alpha(\vec \mathrm{v})d^3r\ d^3\mathrm{v}}</math>,

где

  • <math> \mathrm{d^3r}</math> – элемент объема в пространстве координат;
  • <math> \mathrm{d^3v}</math> – элемент объема в пространстве скоростей;
  • <math> \mathrm{d^2N_\alpha}</math> – количество частиц в элементе объема <math> \mathrm{d^3r}</math> в пространстве координат и элементе объема <math> \mathrm{d^3\mathrm{v}}</math> в пространстве скоростей.

Инструментом для отыскания функции <math> \mathrm{f_\alpha(\vec v)}</math>  является кинетическое уравнение:

2.2. <math> \mathrm{{ \partial\ f_\alpha(\vec \mathrm{v}) \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \Bigl(f_\alpha(\vec \mathrm{v})\vec \mathrm{v}\Bigr) +\nabla_\mathrm{v} \cdot \Bigl(f_\alpha(\vec \mathrm{v}) {\vec F_\alpha (\vec \mathrm{v}) \over m_\alpha}\Bigr) ={ \delta\ f_\alpha(\vec \mathrm{v}) \over \delta\ t}} </math>,

где

  • <math> \mathrm{\vec F_\alpha (\vec \mathrm{v})}

</math>– сила, действующая на частицу сорта <math> \alpha</math>, имеющую скорость <math> \mathrm{\vec v} </math>;

  • <math> \mathrm{\nabla_\mathrm{v}=i_x{ \partial \over \partial\ \mathrm{v}_x}+

i_y{ \partial \over \partial\ \mathrm{v}_y}+i_z{ \partial \over \partial\ \mathrm{v}_z}} </math>– оператор Гамильтона в пространстве скоростей;

  • <math> \mathrm{{ \delta\ f_\alpha(\vec \mathrm{v}) \over \delta\ t}}

</math>– интеграл столкновений – изменение <math> \mathrm{f_\alpha(\vec \mathrm{v})}</math> в единицу времени в результате столкновений. Основные механические характеристики частицы представляют собой моменты массы [1], где момент массы <math> \mathrm{\mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v})}</math> порядка <math> \mathrm{n}</math> определяется выражением:

2.3. <math> \mathrm{\mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v})=m_\alpha \vec \mathrm{v}^{\lceil n\rceil}}</math>.

Например:

  • момент массы 0-го порядка <math> \mathrm{\mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v})=m_\alpha \vec \mathrm{v}^{\lceil n\rceil}}</math> представляет собой просто массу частицы;
  • момент массы 1-го порядка <math> \mathrm{\mathbf{m}_\alpha^{[1]}(\vec \mathrm{v})=m_\alpha \vec \mathrm{v}^{\lceil 1\rceil}=

{m}_\alpha \vec \mathrm{v}}</math> представляет собой импульс частицы;

  • момент массы 2-го порядка <math> \mathrm{\mathbf{m}_\alpha^{[2]}(\vec \mathrm{v})=m_\alpha \vec \mathrm{v}^{\lceil 2\rceil}=

{m}_\alpha \vec \mathrm{v}\ \vec \mathrm{v}}</math> представляет собой тензор 2-го ранга, не имеющий специального названия, но половина следа которого <math> \mathrm{{ 1 \over 2}Tr\bigl(\mathbf{m}_\alpha^{[2]}(\vec \mathrm{v})\bigr)={ 1 \over 2}m_\alpha \mathrm{v}^2} </math> есть кинетическая энергия частицы, Основные газодинамические параметры представляют собой моменты функции распределения [1]:

2.4. <math> \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[n]}=n_\alpha\mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v})= \textstyle \int \mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v})f_\alpha(\vec \mathrm{v})d^3 \mathrm{v} =m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}^{\lceil n \rceil}\rangle}</math>,

где   

  • <math> \mathrm{n_\alpha}</math> – концентрация (количество частиц в единице объема);
  • <math> \langle\ \ \rangle</math> – символ осреднения по скоростям.

Например:

  • момент 0-го порядка <math> \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[0]}=m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}^{\lceil 0 \rceil}\rangle

=m_\alpha n_\alpha=\rho_\alpha}</math> представляет собой плотность массы (массу единицы объема);

  • момент 1-го порядка <math> \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[1]}=m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}^{\lceil 1 \rceil}\rangle

=m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}\rangle=\vec p_\alpha^{(V)}}</math> представляет собой плотность импульса (количество импульса в единице объема), количественно равную плотности потока массы (количеству массы, в единицу времени переносимое через единицу поверхности);

  • момент 2-го порядка <math> \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[2]}=m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}^{\lceil 2 \rceil}\rangle

m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}\ \vec \mathrm{v}\rangle=\mathbf{\Pi}_\alpha}</math> представляет собой плотность потока импульса (кинетический тензор, количество импульса, в единицу времени переносимое через единицу поверхности), половина следа которого <math> \mathrm{{1 \over 2}\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\overset{(2)}{\bullet}\mathbf{M}_\alpha^{[2]}

\varepsilon_\alpha^{V}} </math> есть плотность энергии (количество энергии в единице объема);

  • момент 3-го порядка <math> \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[3]}=m_\alpha n_\alpha\langle\vec \mathrm{v}^{\lceil 3 \rceil}\rangle

=m_\alpha n_\alpha\langle\vec v\ \vec v\ \vec v\rangle=\mathbf{Q}_\alpha}</math> представляет собой тензор 3-го ранга, не имеющий специального названия, но половина вектор-следа которого <math> \mathrm{{1 \over 2}\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\overset{(2)}{\bullet}\mathbf{M}_\alpha^{[3]}=\vec q_\alpha} </math> равна плотности потока энергии (количеству энергии, в единицу времени переносимое через единицу поверхности). Похожее описание приведено в работе R. Fitzpatrick Plasma Physics : An Introduction, но для моментов, отнесенных к единице массы, и с записью только для следа-вектора момента третьего порядка <math> \mathbf{Q}_\alpha</math>.

Уравнения моментов функции распределения

Уравнение момента <math> \mathrm{n}</math>-го порядка функции распределения частиц по скоростям может быть получено умножением всех слагаемых кинетического уравнения (2.2) на момент массы <math> \mathrm{n}</math>-го порядка с последующим интегрированием всех слагаемых по всем значениям скорости.

В результате в применении к заряженной компоненте газа возникает уравнение следующего общего вида:

2.5. <math> \mathrm{{ \partial\ \mathbf{M}_\alpha^{[n]} \over \partial\ t}+\nabla \cdot \mathbf{M}_\alpha^{[n+1]} -n{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf{M}_\alpha^{[n]} \times \vec B+ \mathbf{M}_\alpha^{[n-1]} \vec E\bigr\rfloor ={ \delta\ \mathbf{M}_\alpha^{[n]} \over \delta\ t}} </math>,

где   <math> \mathrm{{ \delta\ \mathbf{M}_\alpha^{[n]} \over \delta\ t}} </math>   – изменение момента   в единицу времени в результате столкновений:

2.6. <math> \mathrm{{ \delta\ \mathbf{M}_\alpha^{[n]} \over \delta\ t}= {\textstyle \int} \mathbf{m}_\alpha^{[n]}(\vec \mathrm{v}){ \delta\ f_\alpha(\vec \mathrm{v}) \over \delta\ t}d^3 \mathrm{v}} </math>.

В зависимости от порядка <math> n</math> можно записать следующие случаи для уравнения (2.5):

  • при <math> \mathrm{n}</math>=0 – уравнение непрерывности:

2.7. <math> \mathrm{{ \partial\ \rho_\alpha \over \partial\ t}+\nabla \cdot \vec p_\alpha^{(V)} ={ \delta\ \rho_\alpha \over \delta\ t}} </math>;

  • при <math> \mathrm{n}</math>=1 – уравнение движения:

2.8. <math> \mathrm{{ \partial\ \vec p_\alpha^{(V)} \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \mathbf{\Pi}_\alpha -{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl( \vec p_\alpha^{(V)} \times \vec B+ \rho_\alpha \vec E\bigr) ={ \delta\ \vec p_\alpha^{(V)} \over \delta\ t}} </math>;

  • при <math> \mathrm{n}</math>=2 – уравнение потока импульса:

2.9. <math> \mathrm{{ \partial\ \mathbf{\Pi}_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \mathbf Q_\alpha -2{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf{\Pi}_\alpha \times \vec B+ \vec p_\alpha^{(V)} \vec E\bigr\rfloor ={ \delta\ \mathbf{\Pi}_\alpha \over \delta\ t}} </math>;

  • при <math> \mathrm{n}</math>=3 – уравнение моменте третьего порядка:

2.10. <math> \mathrm{{ \partial\ \mathbf Q_\alpha \over \partial\ t}+\nabla \cdot \mathbf{M}_\alpha^{[4]} -3{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf Q_\alpha \times \vec B+ \mathbf{\Pi}_\alpha \vec E\bigr\rfloor={ \delta\ \mathbf Q_\alpha \over \delta\ t}} </math>.

Незамкнутость системы уравнений моментов функции распределения. Уравнения статических моментов

На основе анализа уравнений (2.5) – (2.10) можно заметить, что система уравнений моментов функции распределения является принципиально незамкнутой – при записи уравнения для очередного неизвестного момента <math> \mathrm{n}</math>-го порядка, во втором слагаемом левой части возникает дивергенция момента порядка <math> \mathrm{n+1}</math>.

В любом описании система уравнений газодинамики замыкается приближенно с использованием предположений того или иного уровня точности.

Оставляя пока открытым вопрос о незамкнутости системы уравнений моментов функции распределения, можно показать возможность ее иного представления с использованием записей статических моментов.

Сопутствующей системой координат называют инерциальную систему отсчета, в которой в данный момент в данной точке среднемассовая скорость компоненты равна нулю. Скорость частицы в сопутствующей системе  (хаотическая скорость) может быть представлена так:

2.11. <math> \vec v\mathrm{=\vec \mathrm{v}-\vec V_\alpha} </math>.

При этом в соответствии с определением среднемассовой скорости <math> \mathrm{\vec V_\alpha=\langle\vec \mathrm{v}\rangle} </math> имеем:

2.12. <math> \langle\vec {v}\rangle\equiv0 </math>.

Таким образом, первый момент  (плотность потока частиц, плотность импульса) в сопутствующей системе равен нулю по определению.

Моменты функции распределения в сопутствующей системе называются статическими моментами и  могут находиться подстановкой <math> \vec v </math> вместо <math> \vec\mathrm{v} </math> в выражения для моментов функции распределения:

2.13. <math> \mathrm{\mathbf P_\alpha=m_\alpha n_\alpha}\langle\vec v\ \vec v\rangle</math>,

2.14. <math> \mathrm{\mathbf G_\alpha=m_\alpha n_\alpha}\langle\vec v\ \vec v\ \vec v\rangle</math>,

2.15. <math> \mathrm{\mathbf W_\alpha=m_\alpha n_\alpha}\langle\vec v\ \vec v\ \vec v\ \vec v\rangle</math>,

где 

  • <math> \mathbf P_\alpha</math> – тензор давления компоненты, равный кинетическому тензору <math> \mathbf{\Pi}_\alpha</math> в сопутствующей системе координат;
  • <math> \mathbf G_\alpha</math> – третий статический момент, равный третьему моменту <math> \mathbf Q_\alpha</math> в сопутствующей системе координат;
  • <math> \mathbf W_\alpha</math> – четвертый статический момент, равный четвертому моменту <math> \mathbf{M}_\alpha^{[4]}

</math> в сопутствующей системе координат. Тензор <math> \mathbf G_\alpha</math> можно условно называть потоком давления.

Можно показать следующие связи между величинами полных и статических моментов:

2.16. <math> \mathrm{\mathbf{\Pi}_\alpha=\rho_\alpha \vec V_\alpha\vec V_\alpha+\mathbf P_\alpha}</math>,

2.17. <math> \mathrm{\mathbf Q_\alpha=\rho_\alpha \vec V_\alpha\vec V_\alpha\vec V_\alpha +3\bigl\lfloor\vec V_\alpha\mathbf P_\alpha\bigr\rfloor+\mathbf G_\alpha}</math>,

2.18. <math> \mathrm{\mathbf{M}_\alpha^{[4]}=\rho_\alpha \vec V_\alpha\vec V_\alpha\vec V_\alpha\vec V_\alpha +6\bigl\lfloor\vec V_\alpha\vec V_\alpha\mathbf P_\alpha\bigr\rfloor +4\bigl\lfloor\vec V_\alpha\mathbf G_\alpha\bigr\rfloor +\mathbf W_\alpha}</math>.

При этом вместо уравнений потока импульса (2.9) и третьего момента (2.10) можно использовать уравнение давления:

2.19. <math> \mathrm{{ \partial\ \mathbf P_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha\mathbf P_\alpha+\mathbf G_\alpha\bigr) -2{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf P_\alpha \times \vec B\bigr\rfloor +2\bigl\lfloor \mathbf P_\alpha \nabla \vec V_\alpha\bigr\rfloor ={ \delta\ \mathbf P_\alpha \over \delta\ t}} </math>

и уравнение потока давления:

2.20. <math> \mathrm{{ \partial\ \mathbf G_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha\mathbf G_\alpha+\mathbf W_\alpha\bigr) -3{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf G_\alpha \times \vec B\bigr\rfloor +3\biggl\lfloor \mathbf G_\alpha \nabla \vec V_\alpha- { \mathbf P_\alpha \nabla \sdot \mathbf P_\alpha\over \rho_\alpha}\biggr\rfloor ={ \delta\ \mathbf G_\alpha \over \delta\ t}} </math>,

где <math> \mathrmШаблон:\delta\ \mathbf P \alpha \over \delta\ t </math>  и <math> \mathrmШаблон:\delta\ \mathbf G \alpha \over \delta\ t </math> – изменения <math> \mathbf P_\alpha </math> и <math> \mathbf G_\alpha </math> в единицу времени в результате столкновений, равные:

2.21. <math> { \delta \mathbf P_\alpha \over \delta t}={ \delta \mathbf \Pi_\alpha \over \delta t} -2\biggl\lfloor \vec V_\alpha { \delta \vec p_\alpha^{(V)} \over \delta t}\biggr\rfloor +\vec V_\alpha{ \delta \rho_\alpha\over \delta t} </math>

2.22. <math> \mathrm{{ \delta\ \mathbf G_\alpha \over \delta\ t}={ \delta\ \mathbf Q_\alpha \over \delta\ t} -3\Biggl\lfloor \vec V_\alpha { \delta\ \mathbf \Pi_\alpha \over \delta\ t}+ { \mathbf P_\alpha-\vec V_\alpha\vec p_\alpha^{(V)} \over \rho_\alpha} \biggl({ \delta\ \vec p_\alpha^{(V)} \over \delta\ t} -\vec V_\alpha{ \delta\ \rho_\alpha \over \delta\ t}\biggr)\Biggr\rfloor}

</math>.

Можно заметить, что половина следа тензора <math> \mathbf G_\alpha </math> представляет собой кондуктивную составляющую плотности потока энергии:

2.23. <math> \mathrm{{1 \over 2}\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\overset{(2)}{\bullet}\mathbf G_\alpha=\vec q_\alpha^\kappa} </math>.

Следует также отметить, что понятие тензора вязких напряжений является реликтом, связанным с попыткой представления единичного объема газа как материального тела, изменение импульса которого происходит в результате действия неких сил.

На самом деле все три слагаемые в (1.65) соответствуют переносу импульса вместе с частицами, а не результата обмена импульсами (действия сил). Поэтому предпочтительным является представление кинетического тензора в виде (2.16) или в виде:

2.24. <math> \mathrm{\mathbf{\Pi}_\alpha=\rho_\alpha \vec V_\alpha\vec V_\alpha+ \mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ P_\alpha+\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha}</math>,

где <math> \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha</math> – тензор вязкости, равный:

2.25. <math> \mathrm{\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha=\mathbf P_\alpha-\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ P_\alpha =-{\boldsymbol{\sigma}}^I}</math>.

Поток вектора в математике и физике принято считать положительным, если он направлен наружу из выделенного объема, а силу в физике - положительной, если она направлена внутрь. Этим и объясняется разница в знаках <math> \mathrm{\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha=-{\boldsymbol{\sigma}}^I}</math> между тензором вязкости (как составляющей плотности потока импульса вместе с молекулами и тензором вязких напряжений как "силой", действующей на объем.

Уравнение вида (2.19) приведено, например в книге Б. Росси и С. Ольберта "Introduction to the physics of space" [2], но в форме уравнения для компоненты тензора давления, а не в нашем компактном виде и без каких-либо рекомендаций о способах отыскания тензора <math> \mathbf G_\alpha </math>.

Приближение третьего ранга

Как уже сказано, система уравнений моментов функции распределения принципиально незамкнута. Замыкание достигается приближенно в зависимости от степени анизотропии функции распределения в сопутствующей системе координат, которую считают необходимым учесть в конкретной решаемой задаче.

Уравнения (2.7), (2.8), (2.19) - (2.22) содержат тензоры от 0-го до 3-го ранга, необходимые для расчета характеристик устройства с учетом, в том числе и диссипативного переноса импульса и энергии. Проблему представляет тензор 4-го ранга <math> \mathbf W_\alpha </math>. При этом, моменты четных рангов не равны нулю даже при изотропном по <math> \vec v </math> распределении.

Например, при максвелловском распределении имеет место равенство:

2.26. <math> \mathrm{\mathbf W_\alpha=3\bigl\lfloor\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\mathbf{\boldsymbol{\delta}} \bigr\rfloor{P_\alpha P_\alpha\over \rho_\alpha}} </math>.

В работе [1] предложено следующее приближенное обобщение зависимости (2.26):

2.27. <math> \mathbf W_\alpha=3{ \bigl\lfloor\mathbf P_\alpha \mathbf P_\alpha\bigr\rfloor\over \rho_\alpha} </math>.

В таком представлении уравнение (2.20) приобретает вид

2.28. <math> \mathrm{{ \partial\ \mathbf G_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha\mathbf G_\alpha\bigr) -3{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf G_\alpha \times \vec B\bigr\rfloor +3\bigl\lfloor \mathbf G_\alpha \nabla \vec V_\alpha\bigr\rfloor +3\biggl\lfloor \mathbf P_\alpha \sdot\nabla \biggl({ \mathbf P_\alpha\over \rho_\alpha}\biggr)\biggr\rfloor ={ \delta\ \mathbf G_\alpha \over \delta\ t}} </math>,

то есть не содержит уже новых неизвестных, что позволяет приближенно замкнуть систему на уровне моментов от 0-го до 3-го ранга.

Найдя след каждого слагаемого в (2.19) можно показать для скаляра давления <math> \mathrm{P_\alpha={ 1 \over 3}\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\overset{(2)}{\bullet}\mathbf P_\alpha} </math>:

2.29. <math> \mathrm{{ \partial\ P_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha P_\alpha+{2 \over 3}\vec G_\alpha\bigr) +{2 \over 3}\bigl\lfloor P_\alpha \nabla \sdot \vec V_\alpha +(\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha\sdot\nabla)\sdot\vec V_\alpha\bigr\rfloor ={ \delta\ P_\alpha \over \delta\ t}} </math>.

С учетом (2.19), (2.29) для тензора вязкости можно записать:

2.30. <math> \mathrm{{ \partial\ \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \biggl(\vec V_\alpha\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha+\mathbf G_\alpha -{ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \over 3}\vec q_\alpha^\kappa\biggr) -2{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \times \vec B\bigr\rfloor +2 P_\alpha\biggl(\bigl\lfloor \nabla \vec V_\alpha\bigr\rfloor -{ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \over 3}\nabla \sdot \vec V_\alpha\biggr) ={ \delta\ \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \delta\ t}} </math>.

Найдя след каждого слагаемого в (2.28) с учетом (2.23) и подставляя <math> \mathrm{\mathbf P_\alpha=\mathbf{\boldsymbol{\delta}}\ P_\alpha} </math> (как при максвелловском распределении) можно показать для теплопроводности:

2.31. <math> \mathrm{{ \partial\ \vec q_\alpha^\kappa \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha\vec q_\alpha^\kappa\bigr) +{3 \over 2}\vec q_\alpha^\kappa \sdot\nabla \vec V_\alpha -{3 \over 2}{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \vec q_\alpha^\kappa \times \vec B\bigr\rfloor +{5 \over 2} {P_\alpha k \over \rho_\alpha} \nabla T_\alpha ={ \delta\ \vec q_\alpha^\kappa \over \delta\ t}} </math>.

Для однородного газа правые части (2.30) и (2.31) могут быть представлены так[3]:

2.32. <math> \mathrm{{\delta\ \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \delta\ t}= -{3 \over 2}{\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \tau^d_{\alpha\alpha}}} </math>,

2.33. <math> \mathrm{{ \delta\ \vec q_\alpha^\kappa \over \delta\ t}= -{\vec q_\alpha^\kappa \over \tau^d_{\alpha\alpha}}} </math>,

где <math> \mathrm{\tau^d_{\alpha\alpha}} </math>– эффективное время передачи давления[3].

Подстановка (2.32), (2.33) в (2.30) и (2.31) дает для однородного газа:

2.34. <math> \mathrm{{ \partial\ \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \biggl(\vec V_\alpha\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha+\mathbf G_\alpha -{ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \over 3}\vec q_\alpha^\kappa\biggr) -2{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \times \vec B\bigr\rfloor +2 P_\alpha\biggl(\bigl\lfloor \nabla \vec V_\alpha\bigr\rfloor -{ \mathbf{\boldsymbol{\delta}} \over 3}\nabla \sdot \vec V_\alpha\biggr) =-{3 \over 2}{\mathbf{\boldsymbol{\pi}}_\alpha \over \tau^d_{\alpha\alpha}}} </math>,

2.35. <math> \mathrm{{ \partial\ \vec q_\alpha^\kappa \over \partial\ t}+ \nabla \cdot \bigl(\vec V_\alpha\vec q_\alpha^\kappa\bigr) +{3 \over 2}\vec q_\alpha^\kappa \sdot\nabla \vec V_\alpha -{3 \over 2}{ q_\alpha \over m_\alpha}\bigl\lfloor \vec q_\alpha^\kappa \times \vec B\bigr\rfloor +{5 \over 2} {P_\alpha k \over \rho_\alpha} \nabla T_\alpha =-{\vec q_\alpha^\kappa \over \tau^d_{\alpha\alpha}}} </math>.

Граничные условия и характеристики столкновений

Можно заметить, что "классические" выражения для вязкости и теплопроводности можно получить из (2.34) и (2.35), оставляя в левых частях только последние слагаемые. Однако в разреженных газах, где роль столкновений в объеме мала, нельзя пренебрегать слагаемыми, связанными с изменением диссипативных характеристик в пространстве и во времени. В отличие от "классических" полные записи являются дифференциальными по искомым параметрам, а значит для их решения необходимы граничные условия.

Названные условия должны отражать факторы изотропии или анизотропии в процессах на границе газа (или плазмы).

Например, на границе плазмы с поверхностью или окружающей нейтральной средой существует пространственный слой заряда (ленгмюовский слой), по своей природе неоднородный и нестационарный. Отражение электронов от потенциального барьера в этом слое не является зеркальным - происходит релаксация импульса и трансформация моментов функции распределения высоких рангов.

Вопрос формулировки граничных условий с учетом названного процесса решался в работах[4][5][6].

Актуальным остается вопрос о записи правых частей для уравнений моментов порядка выше 1 с учетом упругих и неупругих столкновений в объеме.

См. также

Литература

Примечания

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Шаблон:Статья
  2. ↑ Шаблон:Статья
  3. ↑ 3,0 3,1 Шаблон:Статья
  4. ↑ Шаблон:Статья
  5. ↑ Шаблон:Статья
  6. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Тензоры_в_физической_кинетике&oldid=10918543