Русская Википедия:Тензор Дарбу

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Компоненты те́нзора Дарбу́ <math>\Theta</math> двумерной поверхности F² с ненулевой гауссовой кривизной K в евклидовом пространстве E³ вычисляются по формулам:

<math>\Theta_{ijm}=\nabla_{m} b_{ij} - \frac{b_{ij}\nabla_{m}K+b_{mi}\nabla_{j}K+b_{jm}\nabla_{i}K}{4K} , \quad i, j, m = 1, 2, </math>

где <math> b_{ij} </math> — коэффициенты второй квадратичной формы, <math>K\ne 0 </math> — гауссова кривизна, а <math>\nabla_{m} b_{ij} </math> и <math> \nabla_{m}K </math> — их ковариантные производные.

С тензором Дарбу связана кубическая дифференциальная форма

<math>\Theta_{ijm}du^i du^j du^m =\nabla_{m} b_{ij}du^i du^j du^m - \frac{3\nabla_{m}K}{4K} b_{ij} du^i du^j du^m. </math>

Эта форма, отнесенная к кривой на поверхности, называется инвариантом Дарбу.

Кривая, в каждой точке которой инвариант Дарбу равен нулю, называется линией Дарбу.

Обобщенный тензор Дарбу гиперповерхности — это трижды ковариантный симметрический тензор третьего порядка, определенный на n-мерной гиперповерхности Fⁿ с ненулевой гауссовой кривизной K в евклидовом пространстве Eⁿ⁺¹. Компоненты обобщенного тензора Дарбу <math>\Theta_{(n)}</math> гиперповерхности вычисляются по формулам:

<math>\Theta_{(n)ijm}=\nabla_{m} b_{ij} - \frac{b_{ij}\nabla_{m}K+b_{mi}\nabla_{j}K+b_{jm}\nabla_{i}K}{(n+2)K} , \quad i, j, m = 1, 2, ..., n. </math>

Гиперповерхность Fⁿ в евклидовом пространстве Eⁿ⁺¹, на которой определен и тождественно равен нулю обобщенный тензор Дарбу, называется обобщенной гиперповерхностью Дарбу в Eⁿ⁺¹.