Русская Википедия:Тензор Эйнштейна

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Те́нзор Эйнште́йна (<math>G_{\mu\nu}</math>) — тензорная величина, представляющая собой вариационную производную скалярной кривизны связности Леви-Чивиты по метрическому тензору. В этом качестве стоит в левой части уравнения Эйнштейна. Тензор Эйнштейна — симметричный тензор второго ранга в n-мерном пространстве, то есть содержит <math>n(n+1)/2</math> независимых компонентов, представляющих собой сложные комбинации компонент метрического тензора и его первых и вторых производных.

Тензор Эйнштейна равен разности тензора Риччи <math>R_{\mu\nu}</math> и половины метрического тензора <math>g_{\mu\nu}</math>, умноженного на скалярную кривизну <math>R</math>:

<math>G_{\mu\nu} \, = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \, g_{\mu\nu} \, R</math>.

Домножив обе части этого равенства на <math>g^{\mu\nu}</math> и произведя свёртку, находим след тензора Эйнштейна:

<math>\operatorname{Tr} \, G_{\mu\nu} \, = \frac{2 \, - n}{2} \, R</math>.

При этом в частном случае четырёхмерного пространства:

<math>\operatorname{Tr} \, G_{\mu\nu} \, = - \, R</math>.

Ковариантная дивергенция тензора Эйнштейна тождественно равна нулю

<math>G^\mu_{\nu;\mu} \equiv 0</math>,

что служит обоснованием его использования в левой части уравнения Эйнштейна, так как такое же свойство выполняется для тензора энергии-импульса.

См. также

• Математическая формулировка общей теории относительности

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book