Русская Википедия:Тензор электромагнитного поля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Электродинамика Тензор электромагнитного поля — это антисимметричный дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

Определение

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

<math>\mathrm{F}_{\mu \nu} = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}.</math>

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

<math>\mathrm{F}_{\mu \nu} = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} = \nabla_\mu A_\nu - \nabla_\nu A_\mu.</math>

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

<math>F = \mathbf d A.</math>

Отсюда также очевидна его инвариантность.

Свойства

• <math>F_{\mu \nu}</math> — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
• Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля:

<math>\ F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} = 2(B^2 - E^2) = \text{inv},</math>

<math>\frac{1}{2}\varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}F_{\mu \nu}F_{\sigma \rho} = -4 \left( \mathbf E \cdot \mathbf B \right) = \text{inv}.</math>

Выражение для компонент

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

<math>F_{\mu \nu} = \begin{pmatrix}

0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}.</math>

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

<math>F_{\mu \nu} = (\mathbf E, \mathbf B).</math>

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

<math>F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix}

0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}, </math>

что обозначается как

<math>F^{\mu \nu} = (-\mathbf E, \mathbf B).</math>

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0, 2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

<math>\begin{align}

E_x &= E_x', &
E_y &= \frac{E_y' + \frac{V}{c} B_z'}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}}, &
E_z &= \frac{E_z' - \frac{V}{c} B_y'}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}}, \\
B_x &= B_x', &
B_y &= \frac{B_y' - \frac{V}{c} E_z'}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}}, &
B_z &= \frac{B_z' + \frac{V}{c} E_y'}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}}.

\end{align}</math>

Применение

Непосредственно из определения следует, что

<math>\mathbf d F = 0.</math>

В компонентах это выражение принимает вид

<math>\varepsilon_{\mu \rho \nu \sigma}\frac{\partial F_{\mu \rho}}{\partial x^\nu} =

\frac{\partial F_{\mu \rho}}{\partial x^\nu} + \frac{\partial F_{\rho \nu}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial F_{\nu \mu}}{\partial x^\rho} = 0,</math>

где <math>\varepsilon_{\mu \rho \nu \sigma}</math> — символ Леви-Чивиты для 4-мерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

<math>\operatorname{div}\mathbf B = 0,</math>

<math>\operatorname{rot}\mathbf E = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}.</math>

Вторая пара уравнений Максвелла выражается через тензор электромагнитного поля как

<math>\nabla_\nu F^{\mu \nu} = - \frac{4\pi}{c} j^\mu,</math>

где <math>j^\mu</math> — вектор 4-тока.

Также можно записать их через звёздочку Ходжа:

<math>

d * F = \frac{4\pi}{c} J. </math>

Сила Лоренца выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд по формуле

<math>\mathcal{F}^\nu = qF^{\mu \nu} u_\mu.</math>

См. также

• Электромагнитный тензор энергии-импульса

Литература

• Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля