Русская Википедия:Теорема Абеля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Теорема Абеля — результат теории степенных рядов, названный в честь норвежского математика Нильса Абеля. Обратной к ней является теорема Абеля — Таубера.

Утверждение

Пусть <math>\textstyle f(x)= \sum\limits_{n \geqslant 0} a_n x^n</math> — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости <math>R</math>.

Если ряд <math>\textstyle\sum\limits_{n\geqslant 0} a_n R^n</math> является сходящимся, тогда:

<math>\lim_{x\to R^-} f(x) = \sum_{n \geqslant 0} a_nR^n</math>.

Доказательство

Заменой переменных <math>u=x/R</math>, можно считать <math>R=1</math>. Также (необходимым подбором <math>a_0</math>) можно предположить <math>\textstyle\sum a_n=0</math>. Обозначим <math>S_n</math> частичные суммы ряда <math>\textstyle\sum a_n</math>. Согласно предположению <math>\lim_{n\to\infty} S_n=0</math> и нужно доказать, что <math>\lim_{x\to 1^-} f(x) = 0 </math>.

Рассмотрим <math>x\in[0,1]</math>. Тогда (приняв <math>S_{-1}=0</math>):

<math>\sum_{n=0}^{N}(S_n-S_{n-1})x^n = \sum_{n=0}^{N}S_n(x^n-x^{n+1}) + S_Nx^{N+1}. </math>

Отсюда получается <math>\textstyle f(x)=(1-x)\sum\limits_{n=0}^{\infty}S_nx^n </math>.

Для произвольного <math>\varepsilon>0</math> существует натуральное число <math>N_0</math>, что <math>|S_n|\leq\varepsilon</math> для всех <math>n>N_0</math>, поэтому:

<math> \vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n\right\vert + (1-x)\ \varepsilon\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n=(1-x)\left\vert\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n\right\vert +\varepsilon x^{N_0+1}.</math>

Правая часть стремится к <math>\varepsilon</math> когда <math>x</math> стремится к 1, в частности она меньше <math>2\varepsilon</math> при следовании <math>x</math> к 1.

Примеры

Примеры 1

Возьмем <math>\textstyle f(x)= \sum\limits_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \ln (1+x)</math>. Поскольку ряд <math>\textstyle\sum\limits_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}</math> сходится, имеем:

<math>\lim_{x \to 1^-} f(x) = \ln 2 = \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}</math>

Примеры 2

Возьмем <math>\textstyle g(x)= \sum\limits

_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x)</math>. Поскольку ряд <math>\textstyle\sum\limits_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}</math> сходится, имеем:

<math>\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}</math>

Ссылки

• Шаблон:PlanetMath (a more general look at Abelian theorems of this type)
• Шаблон:MathWorld