Русская Википедия:Теорема Адамара о степенном ряде
Теорема Адамара о степенном ряде (также теорема Коши — Адамара) — утверждение, которое даёт оценку радиуса сходимости степенных рядов для некоторых случаев. Названа в честь французских математиков Коши и Адамара. Теорема была опубликована Коши в 1821[1], но оставалась незамеченной пока Адамар не переоткрыл её[2]. Адамар опубликовал результат в 1888 году[3]. Он также включил его в докторскую диссертацию в 1892 году[4].
Формулировка
Пусть <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}</math> — степенной ряд с радиусом сходимости <math>R</math>. Тогда:
<math>(\alpha)</math> если верхний предел <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> существует и положителен, то <math>R = \frac{1}{\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}}</math>;
<math>(\beta)</math> если <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|} = 0</math>, то <math>R = +\infty</math>;
<math>(\gamma)</math> если верхнего предела <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> не существует, то <math>R = 0</math>.
Доказательство
<math>(\alpha)</math> Пусть <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}\in (0; +\infty)</math>.
Если точка <math>z \in \mathbb C</math> такова, что <math>|z-z_{0}| < \frac{1}{\lambda}</math>, то <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}\sqrt[\nu]{|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|} < 1</math> и можно найти такое число <math>q < 1</math>, что почти для всех <math>\nu</math> будет выполняться <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|} < q\,</math>. Из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}q^{\nu}</math> является сходящейся мажорантой ряда <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|</math>, то есть <math>R=\frac{1}{\lambda}</math>.
Если, наоборот, точка <math>z \in \mathbb C</math> удовлетворяет условию <math>|z-z_{0}| > \frac{1}{\lambda}</math>, то <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}(\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}\cdot|z-z_{0}|)>1</math> и для бесконечного множества номеров <math>\nu</math> будет выполняться <math>|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}| \geqslant 1</math>. Следовательно, ряд <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}|a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}|</math> в точке <math>z</math> расходится, поскольку его члены не стремятся к нулю.
<math>(\beta)</math> Пусть <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|} = 0</math>. Тогда для каждого <math>z \in \mathbb C</math> последовательность <math>\sqrt[\nu] {|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|}</math> сходится к нулю. Поэтому, если выбрать число <math>q=q(z) \in (0; 1)</math>, то для почти всех номеров <math>\nu</math> будет выполняться неравенство <math>|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|<q^{\nu}</math>, откуда, как и в <math>(\alpha)</math>, следует сходимость ряда в точке <math>z</math>. Формально <math>R = \frac{1}{+0}= +\infty</math>.
<math>(\gamma)</math> Верхнего предела <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> в <math>\mathbb R</math> не существует (т.е. формально <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}=+\infty \in \overline{\mathbb R}</math>) в том и только том случае, если последовательность <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> неограничена сверху. Если <math>z \neq z_{0}</math>, то неограничена и последовательность <math>\sqrt[\nu] {|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|}</math>. Поэтому ряд <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}</math> в точке <math>z \neq z_{0}</math> расходится. Следует отметить, что при <math>z = z_{0}</math> ряд <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}</math> сходится к <math>a_{0}</math>. Окончательно <math>R=0</math> (т.е. формально <math>R = \frac{1}{+\infty}= +0</math>, фактически <math>R = \varliminf\limits_{\nu\to+\infty} \frac{1}{\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|} }=0</math>).
Примечания
Литература
- Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисления, М., Мир, 1971
- ↑ Шаблон:Citation.
- ↑ Шаблон:Citation. Переведено на английский с итальянского Warren Van Egmond.
- ↑ Шаблон:Citation.
- ↑ Шаблон:Citation. Также в Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.
