Обобщение этой теоремы на произвольные метрики на сфере сыграло ключевую роль в становлении и развитии Александровской геометрии.
Другое доказательство, основанное на деформации трёхмерного многогранного пространства, было предложено Ю. А. Волковым в его кандидатской диссертации 1955 года.[2]
Многогранная метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого многогранника тогда и только тогда, когда сумма углов при любой её вершине не превосходит <math>2{\cdot}\pi</math>.
Более того, многогранник определяется метрикой на своей поверхности с точностью до конгруэнтности.
При этом допускается, что многогранник вырождается в плоский многоугольник, в этом случае поверхность многогранника определяется как удвоение многоугольника в его границе, то есть две копии многоугольника склеенные по соответствующим точкам границы.
В оригинальной формулировке Александров пользуется понятием развёртки многогранника на плоскости, то есть набора плоских многоугольников и правил склейки этих многоугольников в многогранную метрику. Одну из таких развёрток можно получить из набора всех граней многогранника с естественным правилом склейки. Однако в общем случае многоугольники развёртки могут перекрываться с несколькими гранями; смотри рисунок.
Вариации и обобщения
(Теорема Александрова)Внутренняя метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого тела тогда и только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. При этом допускается, что тело вырождается в плоскую фигуру, в этом случае поверхность фигуры определяется как её удвоение.
(Теорема Погорелова) Более того, выпуклое тело определяется однозначно с точностью до конгруэнтности.
(Теорема Оловянишникова) Полная метрика <math>d</math> на плоскости <math>\mathbb{R}^2</math> изометрична поверхности выпуклого множества <math>K\subset \mathbb{R}^3</math> только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. Более того конус на бесконечности <math>K</math> можно задать произвольно при условии, что его граница изометрична конусу на бесконечности <math>(\mathbb{R}^2,d)</math>.
