Русская Википедия:Теорема Амицура — Левицкого

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Амицура — Левицкого — утверждение о равенстве нулю стандартного многочленаШаблон:Переход степени <math>2n</math> от произвольных матриц порядка <math>n</math>. Установлена и доказана Шаблон:Нп2 и Яковом Левицким в 1950 году. Прямое следствие этого результата — матрицы порядка <math>n</math> образуют Шаблон:Не переведено 5 с минимальной степенью тождеств, равной <math>2n</math>.

Определения и формулировка

Стандартный многочлен степени <math>n</math> — это:

<math>S_n(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{\sigma\in S_{n}}(-1)^{\sigma}x_{\sigma 1}\cdots x_{\sigma n} \ </math>,

где сумма берётся по всем <math>n!</math> элементам симметрической группы <math>S_n</math>. Здесь <math>(-1)^{\sigma}</math> означает знак перестановки <math>\sigma</math>, при этом <math>x_1, \dots, x_n</math> не коммутируют.

Теорема Амицура — Левицкого утверждает, что для произвольных матриц <math>A_1, \dots, A_{2n}</math> порядка <math>n</math> стандартный многочлен обращается в нуль:

<math> S_{2n}(A_1,\ldots,A_{2n}) = 0</math>.

Доказательства

Амицур и Левицкий дали первое доказательство теоремы в 1950 году.

Шаблон:Нп2 в 1958 году вывел теорему Амицура — Левицкого из теоремы Козюля — Самельсона о простых когомологиях алгебр ЛиШаблон:Sfn.

Шаблон:Нп2 в 1963 году дал простое комбинаторное доказательствоШаблон:SfnШаблон:Sfn:

Ввиду линейности достаточно доказать теорему для случая, когда каждая матрица имеет только один ненулевой элемент, равный 1. В этом случае каждая матрица может быть представлена как направленная дуга графа с <math>n</math> вершинами. Все матрицы вместе дают граф с <math>n</math> вершинами и <math>2n</math> направленными дугами. Тождество теоремы равносильно утверждению, что для любых двух вершин <math>A</math> и <math>B</math> графа число нечётных эйлеровых путей из <math>A</math> в <math>B</math> равно числу чётных[1]. Сван показал, что при числе рёбер в графе <math>2n</math> и более число чётных и нечётных путей равно, откуда следует результат теоремы.

Размыслов в 1974 году построил доказательство, опирающееся на теорему Гамильтона — КэлиШаблон:Sfn.

Россет в 1976 году дал короткое доказательство, использующее внешнюю алгебру векторного пространства размерности <math>2n</math>Шаблон:Sfn.

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Пути называются чётными или нечётными в зависимости от того, какую перестановку <math>2n</math> рёбер данный путь порождает — чётную или нечётную.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теорема_Амицура_—_Левицкого&oldid=10919487