Русская Википедия:Теорема Аполлония

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Apollonius' theorem.svg

Зелёное + Голубое = Красное

В планиметрии теорема Аполлония является формулой, выражающей длину медианы треугольника через его стороны. В частности, если в каком-либо треугольнике ABC медиана AD, то

<math>AB^2 + AC^2 = 2(AD^2+BD^2). </math>

Это частный случай теоремы Стюарта. Для равнобедренного треугольника теорема сводится к теореме Пифагора. Из факта, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, можно доказать, что теорема эквивалентна тождеству параллелограмма.

Теорема называется в честь Аполлония Пергского.

Доказательство

Файл:ApolloniusTheoremProof.svg

Доказательство теоремы Аполлония

Теорема может быть доказана как особый случай теоремы Стюарта или с помощью векторов (см. тождество параллелограмма). Ниже приводится независимое доказательство, использующее теорему косинусов.

Пусть стороны треугольника a, b, c, а медиана d проведена к стороне a треугольника. Пусть m — длина отрезков a, образованных медианой, то есть m составляет половину a. Пусть углы между a и d — θ и θ′, где θ содержит b и θ′ содержит c. Затем, θ′ является смежным углом к θ и cos θ′ = −cos θ. Теорема косинусов для θ и θ′ гласит:

<math>

\begin{align} b^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\ c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta'= \\ &= m^2 + d^2 + 2dm\cos\theta.\, \end{align} </math>

Сложив эти уравнения, получим

<math>b^2 + c^2 = 2m^2 + 2d^2</math>

как и требовалось.

См. также

• Теорема Стюарта
• Задача Аполлония

Источники

• Шаблон:Книга
• Шаблон:PlanetMath