Русская Википедия:Теорема Асколи — Арцела
Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела.
Теорема Арцела — Асколи (или Асколи — Арцела) — это обобщение теоремы Арцела на тот случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов (обобщённая теорема Арцела).
Применение теоремы Арцела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью.
Введение
В математическом анализе (а затем и в функциональном анализе) рассматриваются всевозможные семейства непрерывных функций, заданных на специальных множествах (метрических компактах) и исследуется вопрос о «полноте» таких семейств. В частности, возникает вопрос о существовании предела, например, у последовательности непрерывных числовых функций, заданных на отрезке <math>[a,b]</math>, а также о свойствах данного предела. Согласно критерию Коши, равномерный предел непрерывных функций, также является непрерывной функцией, что означает полноту пространства <math>C[a,b]</math>. Существенным здесь является то, что область определения функций — компактное подмножество вещественной прямой (отрезок), а функции принимают значение в полном метрическом пространстве. Аналогичный результат мы получим если возьмём класс непрерывных отображений произвольного метрического компакта в полное метрическое пространство.
Полнота класса <math>C[a,b]</math> позволяет приблизить всякую непрерывную функцию последовательностью приближений, каждое из которых является функцией в некотором смысле «более простой» чем исходная. Об этом говорит теорема Вейерштрасса: каждую непрерывную функцию на отрезке можно сколь угодно точно приблизить полиномами.
Теорема Арцела относится к тому случаю, когда рассматривается некоторое семейство непрерывных функций <math>F\subset C(K,Y)</math>, где <math>K</math> — метрический компакт, а <math>Y</math> — полное метрическое пространство, и исследуется вопрос о том, можно ли выделить из этого семейства сходящуюся подпоследовательность. Поскольку пространство <math>C(K,Y)</math> полное, то существование предельной точки означает, по существу, предкомпактность семейства <math>F</math> в <math>C(K,Y)</math>. Поэтому теорему можно сформулировать в общем виде, говоря именно о предкомпактности.
Таким образом, Теорема Арцела представляет собой критерий предкомпактности семейства непрерывных функций, заданных на компакте и действующих в полное метрическое пространство.
Существующий критерий предкомпактности множества в полном пространстве требует проверки вполне ограниченности данного множества. На практике, такой критерий не является эффективным. Поэтому представляется целесообразным каким-то образом использовать свойства самих функций, входящих в семейство, чтобы получить критерий предкомпактности, пригодный для применения на практике.
В ходе исследований оказалось, что такими свойствами являются свойства равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности рассматриваемого семейства.
Упоминание о равностепенной непрерывности было сделано одновременно Джулио Асколи(1883—1884)[1] и Чезаре Арцела (1882—1883)[2]. Слабая форма теоремы была доказана Асколи в 1883—1884[1], который установил достаточное условия компактности, и Арцелой в 1895[3], который привёл необходимое условие и дал первую чёткую интерпретацию результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906)[4] для пространств, в которых понятие предела имеет смысл, например, метрического пространства или хаусдорфового Данфорд, Шварц (1958)[5]. Современные формулировки теоремы позволяют области и диапазону быть метрическими пространствами. Наиболее общая формулировка теоремы даёт необходимое и достаточное условия для того, чтобы семейство функций из компактного хаусдорфового пространства в [[|en]] (Uniform space) было компактным в топологии равномерной сходимости Бурбаки (1998, § 2.5)[6].
Определения
Рассмотрим пространство <math>C[a,b]</math> непрерывных функций, заданных на отрезке <math>[a,b]</math>, вместе с метрикой равномерной сходимости. Это — полное метрическое пространство. Известно, что:
- Для того, чтобы некоторое подмножество полного метрического пространства было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.
В случае пространства <math>C[a,b]</math>, однако, можно использовать более эффективный критерий предкомпактности, но для этого придётся ввести два следующих ниже понятия.
Положим, что <math>F</math> — некоторое семейство непрерывных функций, заданных на отрезке <math>[a,b]</math>.
Равномерная ограниченность
Семейство <math>F</math> называется равномерно ограниченным, если существует единая для всех элементов семейства постоянная <math>K</math>, которой ограничены все функции семейства:
- <math>\forall f\in F\quad\forall x\in[a,b]\quad |f(x)|<K</math>.
Равностепенная непрерывность
Семейство <math>F</math> называется равностепенно непрерывным, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует <math>\delta>0</math> такая, что для всякого элемента <math>f\in F</math> и для любых точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> таких, что <math>|x_1-x_2|<\delta</math>, выполняется строгое неравенство <math>|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon</math>.
Формулировка
Шаблон:Theorem Функциональное семейство <math>F</math> является предкомпактным в полном метрическом пространстве <math>C[a,b]</math> тогда и только тогда, когда это семейство является
- равномерно ограниченным
- равностепенно непрерывным.
Русская Википедия:Теорема Асколи — Арцела/theorem
Доказательство
Фактически, необходимо показать, что оба указанных свойства семейства функций эквивалентны вполне ограниченности данного семейства.
Необходимость
Итак, пусть семейство <math>F</math> — вполне ограниченное.
Фиксируем <math>\varepsilon>0</math> и построим конечную <math>(\varepsilon/3)</math>-сеть вида: <math>\{\varphi_i\}_{i=1}^n</math>.
Поскольку каждая функция данной системы непрерывна и, следовательно, ограничена, то для каждой такой функции существует своя константа <math>K_i</math> такая что, <math>|\varphi_i(x)|<K_i</math> для всякого <math>x\in[a,b]</math>.
Поскольку таких функций конечное множество, то можно взять <math>K=\max_{i} K_i+\varepsilon/3</math>.
Теперь, если взять произвольную функцию <math>f\in F</math>, то для этой функции существует такой элемент <math>\varphi_i</math> <math>(\varepsilon/3)</math>-сети, что <math>|f(x)-\varphi_i(x)|<\varepsilon/3</math> для всякого <math>x\in[a,b]</math>. Очевидно, что в этом случае функция <math>f</math> будет ограничена константой <math>K</math>.
Тем самым показано, что семейство <math>F</math> является равномерно ограниченным.
Опять же, в силу непрерывности каждого элемента <math>(\varepsilon/3)</math>-сети, этот элемент оказывается также и равномерно непрерывным и, следовательно, по <math>(\varepsilon/3)</math> можно подобрать такое <math>\delta_i</math> такое, что <math>|\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|<\varepsilon/3</math> для любых точек <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> таких, что <math>|x_1-x_2|<\delta_i</math>.
Положим <math>\delta=\min_{i}\delta_i</math>.
Если теперь рассмотреть произвольную функцию <math>f\in F</math>, то для заданного <math>\varepsilon>0</math> будет иметь место строгое неравенство <math>|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon</math> для любых точек <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> таких, что <math>|x_1-x_2|<\delta</math>.
Действительно, <math>|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant |f(x_1)-\varphi_i(x_1)|+|\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|+|\varphi_i(x_2)-f(x_2)|<\varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon</math>, где <math>\varphi_i</math> — подходящий элемент <math>(\varepsilon/3)</math>-сети.
Тем самым показано, что семейство <math>F</math> является равностепенно непрерывным.
Другими словами, вполнеограниченность влечёт равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность.
Достаточность
Теперь необходимо доказать, что равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства <math>F</math> влечёт существование конечной <math>\varepsilon</math>-сети для всякого конечного <math>\varepsilon>0</math>.
Фиксируем <math>\varepsilon>0</math>.
Пусть <math>K</math> — это константа, которая фигурирует в определении равномерной ограниченности.
Выберем такое <math>\delta>0</math>, которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине <math>\varepsilon/5</math>.
Рассмотрим прямоугольник <math>[a,b]\times[-K,K]</math> и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем <math>\delta</math> по горизонтали и <math>\varepsilon/5</math> по вертикали. Пусть <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>\dots</math> , <math>x_N</math> — узлы этой решётки (по оси абсцисс).
Если теперь рассмотреть произвольную функцию <math>f\in F</math>, то для каждого узла <math>x_i</math> решётки обязательно найдётся такая точка <math>(x_i,y_j)</math> решётки, что <math>|f(x_i)-y_j|<\varepsilon/5</math>. Если теперь рассмотреть ломаную функцию <math>\varphi</math>, которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на <math>\varepsilon/5</math>, то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на <math>\varepsilon/5</math>, ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на <math>3\varepsilon/5</math>.
Поскольку каждая точка <math>x</math> отрезка <math>[a,b]</math> оказывается на одном из таких отрезков, скажем, <math>[x_k,x_k+1]</math>, то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит <math>\varepsilon</math>:
- <math>|f(x)-\varphi(x)|\leqslant|f(x)-f(x_k)|+|f(x_k)-\varphi(x_k)|+|\varphi(x_k)-\varphi(x)| <\varepsilon/5+\varepsilon/5+3\varepsilon/5=\varepsilon</math>.
Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является <math>\varepsilon</math>-сетью для заданного <math>\varepsilon>0</math>.
Приложения
Теорема Арцела находит своё применение в теории дифференциальных уравнений.
В теореме Пеано (о существовании решения задачи Коши) строится система функций, которая в теории дифференциальных уравнений носит название ломаных Эйлера. Эта система оказывается равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным семейством функций, из которого, согласно теореме Арцела можно выделить равномерно сходящуюся последовательность функций, предел которой и будет искомым решением задачи Коши.
См. также
- Лемма Арцела
- Теорема Монтеля о компактном семействе функций — следствие из теоремы Арцела.
Литература
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Ascoli, G. (1883—1884), «Le curve limiti di una varietà data di curve», Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521—586.
- ↑ Arzelà, Cesare (1882—1883), «Un’osservazione intorno alle serie di funzioni», Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell’Istituto di Bologna: 142—159.
- ↑ Arzelà, Cesare (1895), «Sulle funzioni di linee», Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55-74.
- ↑ Fréchet, Maurice (1906), «Sur quelques points du calcul fonctionnel», Rend. Circ. Mat. Palermo 22: 1-74, doi:10.1007/BF03018603.
- ↑ Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume 1, Wiley-Interscience.
- ↑ Bourbaki, Nicolas (1998), General topology. Chapters 5-10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1726872, ISBN 978-3-540-64563-4.
