Русская Википедия:Теорема Атьи — Зингера об индексе
Теорема Атьи — Зингера об индексе — утверждение о равенстве аналитического и топологических индексов эллиптического оператора на замкнутом многообразии[1]. Установлено и доказано в 1963 году Майклом Атьёй и Изадором Зингером.
Результат способствовал обнаружению новых связей между алгебраической топологией, дифференциальной геометрией и глобальным анализом[2], нашёл применение в теоретической физике, а исследование его обобщений сформировалось в отдельное направление <math>K</math>-теории — теорию индекса[3].
Определения и формулировка
Аналитический индекс дифференциального оператора <math>d \colon C^\infty(E) \to C^\infty(F)</math>, где <math>E</math> и <math>F</math> — гладкие векторные расслоения над дифференцируемым замкнутым многообразием <math>X</math>, — это разность между размерностями его ядра и коядра:
- <math>i_a(d) = \mathrm{dim} \, \mathrm{Ker} \, d - \mathrm{dim} \, \mathrm{Coker} \, d = \mathrm{dim} \, d^{-1}(0) - \mathrm{dim} \, C^\infty(F)/d(C^\infty(E))</math>.
Для эллиптических операторов эти размерности конечны.
Топологический индекс эллиптического оператора <math>d \colon C^\infty(E) \to C^\infty(F)</math> определяется как:
- <math>i_t(d) = \{\mathrm{ch} \, V(\sigma) \cdot \pi^*_\Sigma \mathcal T(X)\} [\Sigma(X)]</math>,
где <math>\sigma(d)</math> — символ оператора <math>d</math>, определяющий изоморфизм поднятий <math>\sigma(d) \colon \pi^*(E) \to \pi^*(F)</math>, <math>\pi \colon S(X) \to X</math> — расслоение единичных сфер кокасательного расслоения <math>T^*X</math> многообразия <math>X</math>, <math>V(\sigma)</math> — расслоение <math>\pi^{+*}(E) \cup_\sigma(d) \pi^{-*}(F)</math> над склейкой <math>\Sigma(X) = B^+ \cup_{S(X)}B^-</math> двух экземпляров пространства расслоений <math>B(X)</math> единичных шаров в <math>T^*X</math> (<math>S(X)</math> — край <math>B(X)</math>); <math>\mathrm{ch} \, V(\sigma)</math> — когомологический характер Чженя расслоения <math>V(\sigma)</math>; <math>\mathcal T(X)</math> — когомологический класс Тодда комплексифицированного кокасательного расслоения <math>T^*X \otimes_\R \Complex</math>; <math>\pi^*_\Sigma \colon \Sigma(X) \to X</math>; <math>\pi^*_\Sigma \mathcal T(X) = \mathcal T(\Sigma(X))</math>, а часть «<math>[\Sigma(X)]</math>» означает взятие <math>2n</math>-мерной компоненты элемента <math>\{\mathrm{ch} \, V(\sigma) \cdot \pi^*_\Sigma \mathcal T(X)\}</math> на фундаментальном цикле многообразия <math>\Sigma(X)</math>.
Утверждение теоремы заключается в равенстве аналитического и топологического индекса эллиптических операторов на замкнутых многообразиях.
История
Частные проявления соотношения, выраженного в теореме об индексе, были обнаружены ещё в XIX веке, такова, например, формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы, а также её многомерные обобщения. Ещё одно проявление такой связи — теорема Римана — Роха для неособых алгебраических кривых (1865) и её обобщение на произвольные векторные расслоения на компактных комплексных многообразиях — Шаблон:Iw (1954).
Вопрос о возможном соотношении аналитического индекса эллиптических операторов и их топологических характеристик сформулировал Израиль Гельфанд в 1960 году[4], обратив внимание на инвариантность аналитического индекса относительно деформаций оператора. В 1963 году Атьёй и Зингером найдена такая топологическая характеристика; в 1964 году опубликовано доказательство для многообразий с краем. Первые варианты доказательства использовали технику, сходную с доказательством Фридриха Хирцебруха обобщения гипотезы Римана — Роха, в значительной степени привлекали средства теории когомологий и кобордизмов и отличались значительной технической сложностьюШаблон:Sfn. Через несколько лет формулировка и доказательство были переведены на язык <math>K</math>-теории, тем самым доказательство существенно упрощено, и открыта возможность для дальнейших обобщений, и в 1970-е — 1990-е годы аналоги теоремы были получены для более широких и различных специальных классов объектов.
Теорема об индексе (наряду с <math>K</math>-теорией и аналогом формулы Лефшеца для эллиптических операторов) была упомянута в номинации Атьи на Филдсовскую премию 1966 года. В 2004 году за теорему об индексе Атья и Зингер удостоены премии Абеля[5].
Следствия
Из теоремы следует, что топологический индекс эллиптического оператора на замкнутом многообразии — целое число[1]. Другое следствие — аналитический и топологический индексы для оператора на многообразии нечётной размерности равны нулю[1].
Теорема Римана — Роха и её обобщения — Шаблон:Iw и Шаблон:Iw — естественные следствия теоремы об индексе.
Примечания
Литература
