Русская Википедия:Теорема Банаха об обратном операторе

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Банаха об обратном операторе — один из трёх основных принципов «банаховой» теории линейных операторов (два других — теорема Хана — Банаха и принцип равномерной ограниченности).

Формулировка

Если ограниченный линейный оператор <math>A</math> отображает всё банахово пространство <math>E</math> на всё банахово пространство <math>E_1</math> взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный оператор <math>A^{-1}</math>, обратный оператору <math>A</math>, отображающий <math>E_1</math> на <math>E</math>.Шаблон:Sfn

Следствия

Теорема об открытом отображении

Шаблон:Рамка Линейное непрерывное отображение <math>A</math> банахова пространства <math>E</math> на всё банахово пространство <math>E_1</math> открыто.Шаблон:Sfn Шаблон:Конец рамки

Лемма о тройке

Шаблон:Рамка Пусть <math> E, E_1, E_2 </math> — банаховы пространства и <math>A \colon E \to E_1</math>, <math>B\colon E \to E_2</math> — линейные непрерывные операторы, причем <math>B</math> отображает <math>E</math> на всё <math>E_2</math> (то есть <math>\mbox{Im}\, B = E_2</math>). Если при этом

<math> \mbox{Ker} \, A \supset \mbox{Ker}\, B,</math>

то существует такой линейный непрерывный оператор <math>C \colon E_2 \to E_1</math>, что <math>A = C B</math>. Шаблон:Конец рамки

Здесь <math>\mbox{Ker}\, A</math> — ядро, <math>\mbox{Im}\,A</math> — образ оператора <math>A</math>. Символически утверждение леммы о тройке удобно изобразить такой схемой:Шаблон:Sfn

<math>

\begin{array}{ccccc} \mbox{Ker}\,B & \to & E & \xrightarrow{B} & E_2 \\ \bigcap & & || & & \downarrow C \\ \mbox{Ker}\,A & \to & E & \xrightarrow{A}& E_1 \end{array}</math>

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.