Русская Википедия:Теорема Банаха о неподвижной точке
Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.
Теорема
Пусть <math>(\mathbb{X},\,d)</math> — непустое полное метрическое пространство.
Пусть <math>T\colon\mathbb{X}\to\mathbb{X}</math> — сжимающее отображение на <math>\mathbb{X}</math>, то есть существует число <math>0\leqslant\alpha<1</math> такое, что
- <math>d(Tx,\,Ty)\leqslant\alpha d(x,\,y),</math> для всех <math>x,\,y</math> из <math>\mathbb{X.}</math>
Тогда у отображения <math>T</math> существует, и притом единственная, неподвижная точка <math>x^*</math> из <math>\mathbb{X}</math> (неподвижность <math>x^*</math> означает , что <math>Tx^*=x^*</math>)Шаблон:Sfn.
Число <math>\alpha</math> часто называют коэффициентом сжатия.
Если число <math>\alpha</math> равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.
Доказательство
Возьмём произвольный фиксированный элемент метрического пространства <math>{x\in\mathbb{X}}</math> и рассмотрим последовательность <math>x_1=Tx,\;x_2=Tx_1,\;\ldots,\;x_{n+1}=Tx_n</math>.
Таким образом получим последовательность <math>\{x_n\}</math>.
Покажем, что эта последовательность фундаментальна. В самом деле:
- <math>d(x_1,\,x_2)=d(Tx,\,Tx_1)\leqslant\alpha d(x,\,x_1)=\alpha d(x,\,Tx),</math>
- <math>d(x_2,\,x_3)=d(Tx_1,\,Tx_2)\leqslant\alpha d(x_1,\,x_2)\leqslant \alpha^2 d(x,\,Tx),</math>
- <math>\ldots,</math>
- <math>d(x_n,\,x_{n+1})\leqslant\alpha^n d(x,\,Tx).</math>
По неравенству треугольника для <math>d(x_n,\,x_{n+p})\leqslant d(x_{n},\,x_{n+1})+d(x_{n+1},\,x_{n+2})+\ldots+d(x_{n+p-1},\,x_{n+p})\leqslant\alpha^n(1+\alpha+\ldots+\alpha^{p-1})d(x,\,Tx)=\frac{\alpha^n-\alpha^{n+p}}{1-\alpha}d(x,\,Tx)</math>.
Так как по условию <math>0<\alpha<1</math>, то <math>d(x_n,\,x_{n+p})<\frac{\alpha^n}{1-\alpha}d(x,\,Tx)</math>. Отсюда следует, что <math>d(x_n,\,x_{n+p})\rightarrow 0</math> при <math>n\rightarrow\infty</math> и любом <math>p>0</math>.
Значит, последовательность <math>\{x_n\}</math> фундаментальна.
В силу полноты пространства <math>\mathbb{X}</math> существует элемент <math>x_0\in\mathbb{X}</math>, являющийся пределом этой последовательности <math>x_0=\lim_{n\rightarrow\infty} x_n</math>.
Докажем, что <math>Tx_0=x_0</math>.
По неравенству треугольника, <math>d(x_0,\,Tx_0)\leqslant d(x_0,\,x_n)+d(x_n,\,Tx_0)=d(x_0,\,x_n)+d(Tx_{n-1},\,Tx_0)\leqslant d(x_0,\,x_n)+\alpha d(x_{n-1},\,x_0)</math>. Так как <math>x_0=\lim_{n\rightarrow\infty} x_n</math>, то для любого <math>\varepsilon>0</math> при достаточно большом <math>n</math> <math>d(x_0,\,x_n)<\frac{\varepsilon}{2}</math> и <math>d(x_0,\,x_{n-1})<\frac{\varepsilon}{2}</math>. Так как <math>\varepsilon>0</math> произвольно, то отсюда следует, что <math>d(x_0,\;Tx_0)=0</math>, то есть <math>x_0=Tx_0</math>, что и требовалось доказать.
Докажем единственность неподвижной точки у отображения сжатия <math> T </math>. Предположим, что существуют два различных элемента <math>x_0,\;y_0\in\mathbb{X}</math>, такие, что <math>Tx_0=x_0,\;Ty_0=y_0</math>. Тогда <math>d(x_0,\,y_0)=d(Tx_0,\,Ty_0)\leqslant\alpha d(x_0,\,y_0)</math>. Если допустить, что <math>d(x_0,\,y_0)>0</math>, то из предыдущего следует, что <math>\alpha\geqslant 1</math>. Но это противоречит условию <math>\alpha<1</math>. Таким образом, наше допущение что <math>d(x_0,\,y_0)>0</math> неверно и <math>x_0=y_0</math>.
Применение
Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.
Примечания
Литература
- Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — Шаблон:М: Наука, 1975.
- Шаблон:Книга
