Русская Википедия:Теорема Безу

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другое значение Шаблон:Не путать Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена <math>P(x)</math> на двучлен <math>(x-a)</math> равен <math>P(a)</math>.

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен <math>P(x)</math> на двучлен <math>x-a</math>:

<math>P(x) = (x - a) Q(x) + R(x),</math>

где <math>R(x)</math> — остаток. Так как <math>\deg R(x) < \deg (x - a) = 1</math>, то <math>R(x)</math> — многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за <math>r</math>. Подставляя <math>x = a</math>, поскольку <math>(a - a) Q(a) = 0</math>, имеем <math>P(a) = R(x) = r</math>.

Следствия

• Число <math>a</math> является корнем многочлена <math>P(x)</math> тогда и только тогда, когда <math>P(x)</math> делится без остатка на двучлен <math>x-a</math> (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена <math>P(x)</math> тождественно множеству корней соответствующего уравнения <math>P(x)=0</math>).
• Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
• Пусть <math>a</math> — целый корень приведённого многочлена <math>A(x)</math> с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого <math>k</math> число <math>A(k)</math> кратно <math>a-k</math>.

Приложения

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

См. также

• Основная теорема алгебры

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры, — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
• Piotr Rudnicki (2004). "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). Formalized Mathematics. 12 (1): 49–58.