Русская Википедия:Теорема Бохнера — Хинчина
Теорема Бохнера — Хинчина — в теории вероятностей: теорема о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы функция была характеристической; в теории случайных процессов: теорема о свойствах корреляционной функции стационарных процессов.
Теория вероятностей
Формулировка
Пусть <math>\varphi(u)</math> - непрерывная функция <math>u \in R^n</math> и <math>\varphi(0) = 1</math>. Для того, чтобы функция <math>\varphi(u)</math> была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определённой функцией, то есть при каждом целом <math>m > 0</math> для любых вещественных чисел <math>u_1, u_2, ..., u_m</math> и любых комплексных чисел <math>z_1, z_2, ..., z_m</math> выполняется неравенство <math>\sum_{i,j = 1}^{m}\varphi(u_i-u_j)z_i\bar{z_j} \geqslant 0</math>[1].
Здесь <math>\bar{z_j}</math> означает комплексно сопряжённое к <math>z_j</math> число.
Теория случайных процессов
Формулировка
Пусть <math>\left \{ \xi(t), t \in T \right \}</math> - стационарный в широком смысле процесс с корреляционной функцией <math>B(t)</math>[2].
- Если <math>\left \{ \xi(t), t \in T \right \}</math> - скалярный процесс с дискретным временем, то:
<math> B(t)= \begin{cases}
\int_{-\pi}^{\pi} e^{i \lambda t} dF(\lambda), & \mbox{в случае комплексного процесса} \\
\int_{0}^{\pi} \left [ \cos (\lambda t) dC(\lambda) + \sin (\lambda t) dQ(\lambda) \right ], & \mbox{в случае действительного процесса}
\end{cases} </math>
где <math>F(\lambda)</math> - неотрицательная неубывающая функция, определяемая по <math>B(t)</math> однозначно, если потребовать, чтобы <math>F(-\pi) = 0</math> и <math>F(\lambda)</math> была непрерывной справа, <math>C(\lambda)</math> - действительная четная неубывающая функция ограниченной вариации, <math>Q(\lambda)</math> - действительная нечетная функция ограниченной вариации.
- Если <math>\left \{ \xi(t), t \in T \right \}</math> - векторный процесс с дискретным временем, то для <math>B(t)</math> имеет место представление как для скалярного процесса с дискретным временем, где <math>F(\lambda)</math> - матрица, приращения которой <math>F(\lambda_1) - F(\lambda_2), \lambda_1 \geqslant \lambda_2</math> эрмитовы и неотрицательно определены, <math>C(\lambda)</math> - вещественная симметричная матрица, приращения которой <math>C(\lambda_1) - C(\lambda_2), \lambda_1 \geqslant \lambda_2</math> неотрицательно определены, <math>Q(\lambda)</math> - вещественная кососимметрическая матрица. Матрица <math>F(\lambda)</math> определяется однозначно по <math>B(t)</math>, если потребовать, чтобы <math>F(-\pi)=0</math> (нулевая матрица) и <math>F(\lambda)</math> была непрерывной справа (в смысле поэлементной сходимости).
- Если <math>\left \{ \xi(t), t \in T \right \}</math> - скалярный процесс с непрерывным временем, то:
<math> B(t)= \begin{cases}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \lambda t} dF(\lambda), & \mbox{в случае комплексного процесса} \\
\int_{0}^{\infty} \left [ \cos (\lambda t) dC(\lambda) + \sin (\lambda t) dQ(\lambda) \right ], & \mbox{в случае действительного процесса}
\end{cases} </math>
где функции <math>F(\lambda), C(\lambda), Q(\lambda)</math> определяются так же, как в случае скалярного процесса с дискретным временем, за исключением условия <math>F(-\infty)=0</math>.
- Если <math>\left \{ \xi(t), t \in T \right \}</math> - векторный процесс с непрерывным временем, то для <math>B(t)</math> имеют место представления как в случае скалярного процесса с непрерывным временем, где матрицы <math>F(\lambda), C(\lambda), Q(\lambda)</math> определяются так же, как в случае векторного процесса с дискретным временем, за исключением условия <math>F(-\infty)=0</math> (нулевая матрица).
См. также
Примечания
- ↑ Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 65
- ↑ Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 245-246
