Русская Википедия:Теорема Брахмагупты
Теоре́ма Брахмагу́пты — теорема элементарной геометрии, найденная в седьмом столетии нашей эры индийским математиком Брахмагуптой. Шаблон:Рамка Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке <math>M</math>, то прямая, проходящая через точку <math>M</math> и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам. Шаблон:Конец рамки Замечание. По аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника отрезок <math>FE</math> (на рисунке справа) называют антимедиатрисой[1] противоположных сторон четырёхугольника. С учётом этого замечания теорема Брахмагупты может быть сформулирована в виде: Шаблон:Рамка Две пары антимедиатрис вписанного ортодиагонального четырёхугольника проходят через точку пересечения его диагоналей. Шаблон:Конец рамки
Доказательство
На рисунке изображён вписанный четырёхугольник <math>ABCD</math>, имеющий перпендикулярные диагонали <math>AC</math> и <math>BD</math>, а прямая <math>ME</math> перпендикулярна стороне <math>BC</math> и пересекает сторону <math>DA</math> в точке <math>F</math>. Тогда <math>\angle{DMF}=\angle{BME}=\angle{MCE}\equiv\angle{ACB}=\angle{ADB}\equiv\angle{FDM}.</math> Следовательно, треугольник <math>FMD</math> — равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и треугольник <math>FAM</math>. Поэтому <math>|FA|=|FM|=|FD|</math>.
Антицентр и коллинеарность
Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного ортодиагонального четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точкеШаблон:SfnШаблон:Sfn. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно «вершинного центроида». Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, «вершинный центроид» и антицентр лежат на одной прямойШаблон:Sfn.
Обобщения
- Известна теорема: Если в четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны Шаблон:Sfn. Из этой теоремы и теоремы Брахмагупты следует, что концы двух пар антимедиатрис (восемь точек) вписанного ортодиагонального четырёхугольника лежат на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника).
Эта теорема обобщает теорему Брахмагупты, однако отсутствие вписанности четырёхугольника в окружность приводит к тому, что его антимедиатрисы пересекаются не в точке, являющейся точкой пересечения его диагоналей.
Примечания
Литература
- Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией
- Книга:Элементарная геометрия. Понарин
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
