Русская Википедия:Теорема Бёрнсайда

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Бёрнсайда — классическая теорема теории конечных групп.

Теорема была доказана Вильямом Бёрнсайдом в начале XX века. Теорема Бёрнсайда долгое время была наиболее известным приложением теории представлений к теории групп. Доказательство без использования характеров группы было найдено Голдсмитом гораздо позже.

Формулировка

Пусть группа <math>G</math> имеет порядок <math>p^a\cdot q^b</math>, где <math>p</math> и <math>q</math> — простые числа. Тогда <math>G</math> — разрешима.

Замечания

• Из теоремы следует, что каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся на три различных простых числа.
  • В частности наименьшая неабелева конечная простая группа — знакопеременная группа <math>A_5</math> имеет порядок <math>60=5\cdot 3\cdot 2^2</math>.

Схема доказательства Бёрнсайда

1. Используя математическую индукцию, достаточно доказать, что простая группа <math>G</math> данного порядка — абелева.
2. По теореме Силова, группа <math>G</math> имеет либо нетривиальный центр, либо класс сопряженности размера <math>p^r</math> для некоторого <math>r\geqslant 1</math>. В первом случае, поскольку центр является нормальной подгруппой группы <math>G</math>, она должна совпадать с центром, а значит являться абелевой. Значит верен второй случай — существует элемент <math>x</math> группы <math>G</math>, такой что класс сопряжённости элемента <math>x</math> имеет размер <math>p^r>1</math>.
3. Используя свойства ортогональности характеров группы и свойства алгебраических чисел, можно доказать существование нетривиального неприводимого характера <math>\chi</math> группы <math>G</math> такого, что <math>|\chi(x)|=\chi(1)</math>.
4. Из простоты группы <math>G</math> следует, что любое комплексное неприводимое представление характера <math>\chi</math> верно (или точно), и отсюда следует, что <math>x</math> принадлежит центру группы <math>G</math>, что противоречит тому, что размер класса сопряжённости больше 1.

Вариации и обобщения

• Наименьшее простое число в разложении порядка неразрешимой конечной группы, входит в разложение в степени хотя бы 2.

Литература

• James, Gordon; and Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2 издание.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. Глава 31.
• Fraleigh, John B. (2002) A First Course in Abstract Algebra (7 издание). Addison Wesley. ISBN 0-201-33596-4.

Ссылки

• Р. Борчердс Шаблон:Ref-en, Шаблон:YouTube