Русская Википедия:Теорема Бёрча

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Бёрча – это теорема названная именем британского математика Брайана Джона Бёрча. Теорема является утверждением о существовании и представимости нулей форм нечётной степени.

Утверждение теоремы Бёрча

Пусть K алгебраическое числовое поле, k, l и n натуральные числа, <math>r_1,\dots,r_k</math> нечётные натуральные числа, а <math>f_1,\dots,f_k</math> однородные многочлены с коэффициентами из K степени <math>r_1,\dots,r_k</math> соответственно от n переменных. Тогда существует число <math>\psi(r_1,\dots,r_k,l,K)</math>, такое что при

<math>n \geqslant \psi(r_1,\ldots,r_k,l,K)</math>

существует l-мерное векторное подпространство V в Kⁿ, такое что

<math>f_1(x) = \cdots = f_k(x) = 0 \text{ для всех } x \in V.</math>

Примечания

Доказательство теоремы осуществляется методом математической индукции по максимальной степени форм <math>f_1,\dots,f_k</math>. Существенным для доказательства является специальный случай, который может быть доказан путём применения Шаблон:Нп5, теоремы, утверждающей, что если n достаточно велико и r нечётно, то уравнение

<math>c_1x_1^r+\cdots+c_nx_n^r=0,\quad c_i \in \mathbb{Z},\ i=1,\ldots,n</math>

имеет решение в целых числах <math>x_1,\dots,x_n</math>, в котором не все переменные равны 0.

Условие нечётности r является необходимым, поскольку формы чётного порядка, такие как положительно определённые квадратичные формы, могут иметь 0 только в начале координат.

Литература

• Шаблон:Статья