Русская Википедия:Теорема Ван-Обеля о треугольнике

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значенияТеорема Ван-Обеля – классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка

Файл:Теорема Ван-Обеля (один из случаев).svg

Случай, когда все три точки лежат на сторонах треугольника, а не на их продолжениях.

Файл:Теорема Ван-Обеля (2-й случай).svg

Случай, когда две точки лежат на продолжениях сторон.

Если прямые <math>AP</math>, <math>BP</math>, <math>CP</math> пересекают соответственно прямые <math>BC</math>, <math>CA</math> и <math>AB</math>, содержащие стороны треугольника <math>ABC</math> соответственно в точках <math>A_1</math>, <math>B_1</math> и <math>C_1</math>, то имеет место равенство отношений направленных отрезков:

<math>\frac{AC_1}{C_1B} + \frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AP}{PA_1}</math>.

Замечания

• Если отрезки сонаправлены (одинаково направлены), то верхние знаки направленных отрезков можно убрать, и мы получим скалярный вариант теоремы ван Обеля:

  <math>\frac{AC_1}{C_1B} + \frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AP}{PA_1}</math>.

О доказательствах

Обычно доказывается применением метода центров масс; доказательство можно также построить на основе теоремы Менелая.

См. также

• Отношение направленных отрезков
• Теорема Менелая
• Теорема Чевы