Русская Википедия:Теорема Вейля о равномерном распределении
Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка <math>(0;1)</math>.
Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году Германом Вейлем.[1][2]
Определения
Пусть <math>\xi_1, \xi_2, \dots</math> — бесконечная последовательность вещественных чисел из интервала <math>(0;1)</math>
Для чисел <math>a,b \in (0;1),\ a < b</math> обозначим через <math>\varphi_n(a, b) = \# \left\lbrace{ k : 1 \le k \le n, \xi_k \in (a;b) }\right\rbrace</math> количество чисел из <math>\xi_1, \dots, \xi_n</math>, лежащих в отрезке <math>(a;b)</math>.
Определим предельное наибольшее отклонение как <math>D_{\xi} = \lim \sup_{n \to \infty} {\left({ \frac{\varphi_n (a,b)}{n} - (b - a) }\right)}</math>.
Последовательность <math>\xi_1, \xi_2, \dots</math> называется равномерно распределённой в <math>(0;1)</math> если <math>D_{\xi} = 0</math>. Иными словами, последовательность равномерно распределённа в <math>(0;1)</math> если в любом ненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к доле размера отрезка в <math>(0;1)</math>.
Формулировка теоремы
Шаблон:Рамка Последовательность <math>\left({ \xi_n }\right)_{n=1}^{\infty}, \xi_n \in (0;1)</math> равномерно распределена в <math>(0;1)</math> тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману на отрезке <math>(0;1)</math> функции <math>f</math> выполняется тождество:
- <math>\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f(\xi_k)}} = \int \limits_{0}^{1} {f(x) dx}</math>
Шаблон:Hider - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| = \Bigg|{ \int_{0}^{1} {f_1(x) dx} - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| < \varepsilon </math>
- <math>\exists N:\ \forall n>N:\ \Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f_1 (\xi_k)} - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| < 2 \varepsilon</math>
Так как по определению <math>f_1</math> следует <math>\Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)} - \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f_1 (\xi_k)} }\Bigg| = \Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {(f (\xi_k) - f_1(\xi_k))} }\Bigg| < \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {|f(\xi_k) - f_1(\xi_k)}| < \varepsilon</math>, то для достаточно больших <math>n</math> будет выполнено
- <math>\Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)} - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| < \varepsilon</math>,
Так как в эти рассуждения можно подставить сколь угодно малое <math>\varepsilon > 0</math>, то это и означает, что
- <math>\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)}} = \int_{0}^{1} {f(x) dx}</math>
}}
Следствия
Критерий с тригонометрическими суммами
Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределения с тригонометрическими суммами.[2]
Шаблон:Рамка Последовательность <math>\left({ \xi_n }\right)_{n=1}^{\infty}, \xi_n \in (0;1)</math> равномерно распределена в <math>(0;1)</math> тогда и только тогда, когда для любого целого <math>m \not = 0</math> выполнено
- <math>\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {e^{2 \pi m \xi_k i}}} = 0</math>
Доказательство последнего утверждения проводится аналогично доказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимации кусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммами ряда Фурье.
Константа <math>0</math> в формуле фактически является значением интеграла <math>\int \limits_{0}^{1} {e^{2 \pi m x i} dx} = 0</math>.
Дробные части от кратных иррациональным
Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы, легко вывести следующий результат:
Шаблон:Рамка Обозначим через <math>\left\lbrace{ x }\right\rbrace</math> дробную часть числа <math>x</math>
Если <math>\xi \in {\mathbb R}</math> — иррациональное число, то последовательность <math>\left\lbrace{ \xi }\right\rbrace, \left\lbrace{ 2 \xi }\right\rbrace, \left\lbrace{ 3 \xi }\right\rbrace, \dots, \left\lbrace{ n \xi }\right\rbrace, \dots</math> равномерно распределена в <math>(0;1)</math>. Шаблон:Конец рамки
Шаблон:Hider }\Bigg\vert = \Bigg\vert{ \frac{e^{2 \pi m \xi} - e^{2 \pi m (n + 1) \xi}}{1 - e^{2 \pi m \xi}} }\Bigg\vert = \frac{\vert{ e^{2 \pi m \xi} - e^{2 \pi m (n + 1) \xi} }\vert}{\vert{ e^{2 \pi m \xi} - 1 }\vert} < \frac{2}{\vert{ e^{2 \pi m \xi} - 1 }\vert}</math>
Так как величина <math>\vert{ e^{2 \pi m \xi} - 1 }\vert</math> не зависит от <math>n</math>, то при каждом отдельном фиксированном <math>m \not = 0</math> из неравенства выше следует
- <math>\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {e^{2 \pi m k \xi i}}} = 0</math>
}}
Литература
Примечания
