Русская Википедия:Теорема Вивиани

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Vivani.svg

Сумма длин отрезков <math>l+m+n</math> равна высоте равностороннего треугольника.

Теорема Вивиани — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. Названа по имени итальянского математика Винченцо Вивиани.

В части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до сторон утверждение может быть обобщено на равносторонние многоугольники и многоугольники с равными углами.

Доказательство

Теорема может быть доказана путём сравнения площадей треугольников. Пусть <math>\triangle ABC</math> — равносторонний треугольник, в котором <math>h</math> — высота, <math>s</math> — длина каждой из сторон. Точка <math>P</math> выбирается произвольно внутри треугольника, и тогда <math>l</math>, <math>m</math>, <math>n</math> — расстояния от точки <math>P</math> до сторон треугольника. Тогда площадь <math>\triangle ABC</math> можно определить следующим образом:

<math>S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABP} + S_{\triangle ACP} + S_{\triangle BCP}</math>,

из чего вытекают следующие соотношения:

<math>\frac{s h}{2} = \frac{s l}{2} + \frac{s m}{2} + \frac{s n}{2}</math>,

то есть:

<math>h = \ell + m + n</math>.

Приложения

Файл:Flammability diagram methane-ru.svg

Треугольник взрываемости тройной смеси метан-кислород-азот. Синяя прямая соответствует смесям метана с воздухом, красная линия отвечает стехиометрическому составу.
ВПВ — верхний предел взрываемости;
НПВ — нижний предел взрываемости;
ПК — пороговая концентрация взрываемости.

Теорема Вивиани позволяет получать координаты точек на Шаблон:Нп1 путём проведения линий, параллельных сторонам равностороннего треугольника. В частности, таким образом можно строить Шаблон:Нп1.

В более общем случае, они позволяют таким же образом задавать координаты на правильном симплексе.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
• Viviani’s Theorem: What is it? at Cut the knot.
• Viviani’s Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.
• Шаблон:YouTube