Русская Википедия:Теорема Вигнера
Теорема Вигнера — теорема квантовой механики. Играет важную роль в математических основах квантовой механики. Она определяет, как физические симметрии (вращениеШаблон:Sfn, перемещение в пространстве, CPT-преобразование) представлены математически в гильбертовом пространстве состояний. Названа в честь Юджина Вигнера, доказавшего её в 1931 г.Шаблон:Sfn
Пространство лучей
Проективное гильбертово пространство <math>\mathbb{P}H </math> комплексного гильбертова пространства <math>H</math> — это множество классов эквивалентности ненулевых векторов <math>\Psi\in H</math>, для отношения эквивалентности <math>\sim</math> на <math>H</math>, заданного следующим образом:
- <math>\Psi \sim \Phi</math> тогда и только тогда, когда <math>\Psi = \lambda \Phi</math> для некоторого ненулевого комплексного числа <math>\lambda</math>.
Классы эквивалентности <math>\underline{\Psi}</math> также называются лучами или проективными лучами[1].
Формулировка
Предварительные сведения
Преобразование унитарно, если оно биективно и <math display="block">\langle U \Psi, U \Phi\rangle = \langle \Psi, \Phi \rangle.</math> Преобразование антиунитарно, если <math display="block">\langle A \Psi, A \Phi\rangle = \langle\Psi, \Phi\rangle^* = \langle\Phi, \Psi\rangle.</math>
Пусть есть унитарное преобразование <math>U:H \to K</math> гильбертовых пространств.
Определим <math display="block">\begin{align} T_U: \mathbb{P}H &\to \mathbb{P}K \\
\underline{\Psi} &\mapsto \underline{U\Psi},\\
\end{align}</math> которое является преобразованием симметрии, поскольку <math display="block">
T\underline{\Psi} \cdot T\underline{\Phi} =
\frac{ \left|\langle U\Psi, U\Phi \rangle\right|}{\|U\Psi\|\|U\Phi\|} = \frac{\left|\langle\Psi, \Phi\rangle\right|}{\|\Psi\|\|\Phi\|}
= \underline{\Psi} \cdot \underline{\Phi}.
</math> Таким же образом антиунитарные преобразования <math>A</math> симметрии гильбертова пространства индуцируют преобразование симметрии пространства лучей.
Утверждение теоремы
Теорема Вигнера утверждает, что верно и обратное: Если <math>H</math> и <math>K</math> — гильбертовы пространства, и <math>T:\mathbb{P}H \to \mathbb{P}K </math> — преобразование симметрии, тогда существует унитарное или антиунитарное преобразование <math>V: H \to K</math>, которое индуцирует <math>T</math>.Шаблон:Sfn[2]Шаблон:Sfn
Доказательство см.Шаблон:Sfn[2]
Комментарии
В некоторых источниках[3], теорема Вигнера относится к собственным состояниям симметричной квантово-механической системы, и говорит о том, что если гамильтониан инвариантен относительно преобразований какой-то группы, то его собственные функции образуют базис неприводимых представлений этой группы, а кратность вырождения уровня равна размерности представления.
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:Harvnb
- ↑ 2,0 2,1 Bargmann V. Note on Wigner’s Theorem on Symmetry Operations Шаблон:Wayback // Journal of Mathematical Physics 5, 862 (1964); https://doi.org/10.1063/1.1704188
- ↑ Петрашень М. И., Трифонов Е. Д. "Применение теории групп в квантовой механике", 1967, Наука
