Русская Википедия:Теорема Вигнера — Эккарта
Теорема Вигнера — Эккарта — теорема из теории представлений и квантовой механики. В ней говорится, что матричный элемент Шаблон:Iw в базисе собственных функций оператора углового момента может быть представлен в виде произведения двух величин, одна из которых не зависит от проекций углового момента, а другая является коэффициентом Клебша — Гордана. Название теоремы образовано от имён Юджина Вигнера и Карла Эккарта, которые разработали конструкцию, связывающий симметрию преобразования групп пространства с законами сохранения энергии, импульса и момента импульса.[1]
Теорема Вигнера — Эккарта формулируется так:
- <math>\langle jm|T^k_q|j'm'\rangle =\langle j||T^k||j'\rangle C^{jm}_{kqj'm'},</math>
где <math>T^k_q</math> — Шаблон:Iw ранга <math>k</math>, <math>|jm\rangle</math> и <math>|j'm'\rangle</math> суть собственные функции полного углового момента <math>J^2</math> и его z-компоненты <math>J_z</math>, <math>\langle j||T^k||j'\rangle</math> не зависит от <math>m</math> и <math>q</math>, и <math>C^{jm}_{kqj'm'}=\langle j'm';kq|jm \rangle</math> — коэффициенты Клебша — Гордана сложения <math>j'</math> и <math>k</math> для получения <math>j</math>.
Как следствие, Теорема Вигнера — Эккарта говорит нам, что действие сферического тензорного оператора ранга <math>k</math> на собственную функцию углового момента есть то же самое, что добавление состояния с угловым моментом <math>k</math> к исходному состоянию. Матричные элементы, находимые для сферического тензорного оператора, пропорциональны коэффициентам Клебша — Гордана, которые возникают при сложении двух угловых моментов.
Пример
Рассмотрим среднее значение координаты <math>\langle njm|x|njm\rangle</math>. Этот матричный элемент является средним значением оператора координаты в сферически-симметричном базисе собственных состояний атома водорода. Отыскание этих матричных элементов является нетривиальной задачей. Однако, использование теоремы Вигнера — Эккарта упрощает эту задачу. (В действительности возможно получить решение сразу же, используя чётность.)
Известно, что <math>x</math> — одна из компонент вектора <math>\vec r</math>. Векторы являются тензорами первого ранга, таким образом <math>x</math> является некоторой линейной комбинацией <math>T^1_q</math>, где <math>q = -1,0,1</math>. Можно показать, что <math>x = \tfrac{T_{-1}^{1} - T^1_1}{\sqrt{2}}</math>, где сферические тензоры[2] определены таким образом: <math>T^1_{0} = z</math> и <math>T^1_{\pm1} = \mp (x \pm i y)/\sqrt{2}</math> (знаки должны быть выбраны согласно определению[2] сферического тензора ранга <math>k</math>. Следовательно, <math>T^1_{q}</math> пропорциональны только лестничным операторам). Поэтому
- <math>\langle njm|x|n'j'm'\rangle = \left\langle njm\left|\tfrac{T_{-1}^{1} - T^1_1}{\sqrt{2}}\right|n'j'm'\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle nj||T^1||n'j'\rangle (C^{jm}_{1(-1)j'm'}-C^{jm}_{11j'm'}).</math>
Выражения выше дают нам матричные элементы для <math>x</math> в базисе <math>|njm\rangle</math>. Чтобы найти среднее значение, положим <math>n'=n</math>, <math>j'=j</math>, и <math>m'=m</math>. Правила отбора для <math>m'</math> и <math>m</math> таковы: <math>m\pm1=m'</math> для сферических тензоров <math>T_{\mp1}^{(1)}</math>. Как только <math>m'=m</math>, коэффициенты Клебша — Гордана обращаются в нуль, что ведет к равенству нулю средних значений.
Примечания
Ссылки
- J. J. Sakurai, (1994). «Modern Quantum Mechanics», Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2.
- Шаблон:Mathworld
- Wigner–Eckart theoremШаблон:Ref-en
- Tensor OperatorsШаблон:Ref-en
- ↑ Eckart Biography Шаблон:Webarchive — The National Academies Press.
- ↑ 2,0 2,1 J. J. Sakurai: «Modern quantum mechanics» (Massachusetts, 1994, Addison-Wesley).
