Русская Википедия:Теорема Гамильтона — Кэли

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — классическая теорема линейной алгебры, утверждает, что любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

Формулировка

Если <math>\ A</math> — квадратная матрица и <math>\ c(\lambda)</math> её характеристический многочлен, то <math>\ c(A)=0</math>.

Следствия

• Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.
• Теорема Гамильтона — Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен.

Вариации и обобщения

• Пусть <math>p_{A}(\lambda)</math> — характеристический многочлен матрицы <math>A</math>, а матрица <math>X</math> коммутирует с <math>A</math>. Тогда <math>p_{A}(X) = M(A-X)</math>, где <math>M</math> — некоторая матрица, коммутирующая с <math>A</math> и <math>X</math>Шаблон:Sfn.

• Если в характеристическом многочлене <math>f(x_{1}, ..., x_{m})</math> заменить <math>x^{z}</math> на <math>A^{z}</math>, то получим нулевую матрицуШаблон:Sfn.

См. также

• Минимальный многочлен матрицы
• Характеристический многочлен матрицы
• Аннулирующий многочлен
• Лямбда-матрица

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд. — Шаблон:М.: Наука, 1966.
• Ланкастер П. Теория матриц. — Шаблон:М.: Наука, 1973.
• Шаблон:Книга