Русская Википедия:Теорема Гаусса — Ванцеля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Pentagon construct.gif

Построение правильного пятиугольника.

Теоре́ма Га́усса — Ванце́ля даёт необходимое и достаточное условие на то, что правильный <math>n</math>-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки.

Формулировка

Правильный <math>n</math>-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда <math>n=2^k \cdot p_1\cdot \ldots \cdot p_m</math>, где <math>k</math> и <math>m</math> — неотрицательные целые числа, а <math>p_i</math> — различные простые числа Ферма.

Замечания

• Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера <math>\varphi(n)</math> является степенью числа два.
• В настоящее время найдены только пять простых чисел Ферма:

<math>3,\, 5,\, 17,\, 257,\, 65537;</math>

поэтому (до открытия новых простых Ферма) с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с максимальным нечётным числом сторон, равным <math>3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257 \cdot 65537 = 2^{32}-1</math> = 4294967295.

• Правильный <math>n</math>-многоугольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда при наличии на плоскости отрезка длины <math>1</math> можно построить отрезок, длина которого равна <math>\cos\tfrac{2\cdot\pi}n</math> — косинусу центрального угла данного <math>n</math>-многоугольника. Это, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда данный косинус является вещественно построимым числом, то есть может быть выражен при помощи целых чисел, простейших арифметических операций и извлечения квадратного корня.

История

Античным геометрам были известны способы построения правильных <math>n</math>-угольников для <math>n = 2^k, 3\cdot2^k, 5\cdot2^k </math> и <math>3 \cdot 5 \cdot 2^k</math>.

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных <math>n</math>-угольников при <math>n=2^k \cdot p_1 \cdots p_m</math>, где <math>p_i</math> — различные простые числа Ферма. (Здесь случай <math>m = 0</math> соответствует числу сторон <math>n = 2^k</math>.)

В 1837 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки:

• Построение правильного семнадцатиугольника было непосредственно осуществлено самим Гауссом, но впервые опубликовано К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 году.
• Правильный 257-угольник построил Ф. Ю. Ришело в 1832 году.
• В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом десятилетней работы И. Г. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.

«	Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением.	»
— Анонимус

Ссылки

• Жак Сезиано История построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки от Евклида до Гаусса Семинар по истории математики 4 мая 2017 года 18:00, Санкт-Петербург, ПОМИ, Фонтанка 27, аудитория 106.