Русская Википедия:Теорема Гаусса — Люка

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Гаусса — Люка даёт ограничения на корни производной многочлена с комплексными коэффициентами через корни самого многочлена.

Формулировка

Для произвольного не равного тождественно постоянной многочлена <math>P(z)</math> с комплексными коэффициентами множество нулей его производной <math>P'(z)</math> принадлежит выпуклой оболочке нулей многочлена <math>P(z)</math>.

О доказательстве

Доказательство теоремы опирается на следующее легко проверяемое утверждение: Если все корни многочлена <math>P(z)</math> находятся в полуплоскости <math>{\rm Re} \, z<0</math>, тогда в области <math>{\rm Re} \, z\ge 0</math> справедливо неравенство:

<math>{\rm Re}\,{P'(z) \over P(z)} > 0</math>,

из которого следует, что все корни производной также должны быть в полуплоскости <math>{\rm Re} \, z<0</math>.