Русская Википедия:Теорема Гельфонда — Шнайдера
Теорема Гельфонда—Шнайдера — теорема в теории чисел, которая устанавливает трансцендентность большого класса чисел и тем самым решает (утвердительно) Седьмую проблему Гильберта. Была доказана независимо в 1934 году советским математиком Александром Гельфондом[1] и немецким математиком Теодором Шнайдером[2].
Формулировка
Шаблон:Рамка Если <math>a, b</math> — алгебраические числа, причём <math>a</math> не ноль и не единица, а <math>b</math> иррационально, то любое значение <math>a^b</math> — трансцендентное число. |}
Эквивалентные формулировки для логарифмов (основание логарифма выбирается произвольно)Шаблон:Sfn: Шаблон:Рамка Если <math>a, b</math> — алгебраические числа, не равные нулю или единице, то <math>\log(b) / \log(a)</math> — либо рациональное, либо трансцендентное число. |}
Шаблон:Рамка Если <math>\log(a), \log(b)</math> линейно независимы над полем рациональных чисел, то они линейно независимы и над полем алгебраических чисел. |} Про обобщение последней формулировки см. статью Теория трансцендентных чисел.
Пояснения
- Значения <math>a,b</math> могут быть не только вещественными, но и комплексными числами; поскольку комплексная степень многозначна, в формулировке особо подчёркнуто: любое значение.
- Если убрать требование, чтобы <math>a, b</math> были алгебраическими числами, теорема будет неверна. Пример:
- <math>{\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2.</math>
- Из примера, с учётом теоремы, также очевидно, что <math>{\sqrt{2}^\sqrt{2}}</math> — трансцендентное число.
- Шаблон:Нп5 доказал аналог данной теоремы для p-адических чисел.
Следствия
Из теоремы вытекает трансцендентность некоторых важных математических констант.
- Постоянная Гельфонда — Шнайдера <math>2^{\sqrt{2}}</math> и уже упомянутый выше квадратный корень из неё: <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}.</math>
- Постоянная Гельфонда <math>e^{\pi} = \left( e^{i \pi} \right)^{-i} = (-1)^{-i} = 23.14069263 \ldots </math>, а также<math> i^i = \left( e^{i \pi / 2} \right)^i = e^{-\pi / 2} = 0.207879576 \ldots.</math>
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
- Шаблон:Cite web
- Шаблон:Cite web
- A proof of the Gelfond–Schneider theorem
- Шаблон:Cite web
- Waldschmidt, Michel (2001). Gel'fond-Schneider method // Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
- Шаблон:MathWorld
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Schneider, Theodor. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, volume 172, 1934, pp. 65–69, 70-74.
