Русская Википедия:Теорема Гильберта о базисе
Теоре́ма Ги́льберта о ба́зисе — одна из основных теорем о нётеровых кольцах:
- Если Шаблон:Math — нётерово кольцо, то кольцо многочленов Шаблон:Math также нётерово.
Доказательство
Пусть Шаблон:Math — идеал в Шаблон:Math (мы здесь будем считать Шаблон:Math коммутативным, для некоммутативных колец всё доказательство сохраняется, необходимо только считать все идеалы левыми), а Шаблон:Math — множество старших коэффициентов многочленов, принадлежащих этому идеалу. Докажем, что Шаблон:Math — идеал.
В самом деле, если Шаблон:Math и Шаблон:Math — элементы Шаблон:Math, то Шаблон:Math и Шаблон:Math являются старшими коэффициентами некоторых многочленов из Шаблон:Math — Шаблон:Math и Шаблон:Math Если, например, Шаблон:Math, то Шаблон:Math является старшим коэффициентом многочлена Шаблон:Math, принадлежащего Шаблон:Math. Если Шаблон:Math является старшим коэффициентом Шаблон:Math то Шаблон:Math является старшим коэффициентом Шаблон:Math из идеала Шаблон:Math для любого элемента кольца Шаблон:Math. Таким образом Шаблон:Math — идеал, а так как Шаблон:Math — нётерово кольцо, то Шаблон:Math конечно порождается некоторыми элементами Шаблон:Math, являющимися соответственно старшими коэффициентами многочленов Шаблон:Math из Шаблон:Math. Пусть наибольшая степень этих многочленов равна Шаблон:Math. Можно считать что степень каждого из этих многочленов равна Шаблон:Math (если она равна Шаблон:Math, то можно сделать её такой, домножая на Шаблон:Math).
Аналогично доказывается что Шаблон:Math — множество старших коэффициентов многочленов из Шаблон:Math, степень которых равна Шаблон:Math, объединённое с нулём кольца — является идеалом, и, в силу нётеровости, конечно порождается элементами Шаблон:Math. Пусть они являются старшими коэффициентами многочленов Шаблон:Math степени Шаблон:Math из идеала Шаблон:Math.
Докажем, что многочлены Шаблон:Math порождают идеал Шаблон:Math. Пусть Шаблон:Math — какой-нибудь многочлен идеала Шаблон:Math, тогда Шаблон:Math принадлежит Шаблон:Math. Если его степень Шаблон:Math, то так как Шаблон:Math по доказанному является линейной комбинацией Шаблон:Math старших членов многочленов Шаблон:Math степени Шаблон:Math , то мы получим, что Шаблон:Math будет многочленом степени, меньшей, чем Шаблон:Math и также принадлежащим идеалу Шаблон:Math. Повторяя при необходимости эту операцию несколько раз можно прийти к многочлену степени Шаблон:Math.
Для многочлена степени Шаблон:Math применяется та же процедура, но с использованием многочленов Шаблон:Math старшие коэффициенты которых порождают идеал Шаблон:Math. Далее процедура повторяется, пока мы не придем к нулевому многочлену.
Следствия
Последовательно применяя теорему, можно доказать, что кольцо многочленов от Шаблон:Math переменных Шаблон:Math нётерово.
Кольцо Шаблон:Math, конечно порожденное над нётеровым кольцом Шаблон:Math, также нётерово (как факторкольцо кольца многочленов Шаблон:Math).
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М.: Наука, 1976
- Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра — М.: ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра — М.: Мир, 1968
См. также
Шаблон:Вклад Давида Гильберта в науку
