Русская Википедия:Теорема Гильберта о нулях
Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как «теорема о нулях») — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.
Данная теорема связывает понятие алгебраического множества с понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем. Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313—373) и названа в его честь.
Формулировка
Пусть <math>k</math> — произвольное поле (например, поле рациональных чисел), <math>K</math> — алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим <math>K[x_1,\ldots,x_n]</math> — кольцо многочленов от <math>n</math> переменных с коэффициентами в поле <math>K</math>, пусть <math>I</math> — идеал в этом кольце. Алгебраическое множество <math>\hbox{V}(I)</math>, определяемое этим идеалом, состоит из всех точек <math>x=(x_1,\dots,x_n)\in K^n</math> таких, что <math>f(x)=0</math> для любого <math>f\in I</math>. Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен <math>p\in k[x_1,\dots,x_n]</math> зануляется на множестве <math>\hbox{V}(I)</math>, то есть если <math>p(x)=0</math> для всех <math>x\in V(I)</math>, то существует натуральное число <math>r</math> такое, что <math>p^r\in I</math>.
Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если <math>I</math> является собственным идеалом в кольце <math>K[x_1,\dots,x_n]</math>, то <math>\hbox{V}(I)</math> не может быть пустым множеством, то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен <math>p(x)=1</math> имеет корни всюду на <math>\hbox{V}(I)</math>, следовательно, его степень принадлежит <math>I</math>). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича. Предположение о том, что поле <math>K</math> является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала <math>(x^2+1)</math> в <math>\mathbb R[x]</math> не имеют общего нуля.
Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры, теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала <math>J</math> справедлива формула
- <math>\hbox{I}(\hbox{V}(J))=\sqrt{J}</math>
где <math>\sqrt{J}</math> — радикал идеала <math>J</math>, а <math>\hbox{I}(U)</math> — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве <math>U</math>.
Из этого следует, что операции <math>\hbox{I}</math> и <math>\hbox{V}</math> задают биективное, обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в <math>K^n</math> и радикальными идеалами в <math>K[x_1,\ldots,x_n]</math>.
Проективная версия Nullstellensatz
Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве, называемое проективной Nullstellensatz. Пусть <math>R=K[x_1,\dots,x_n]</math>, <math>R_d</math> — множество однородных многочленов степени <math>d</math>. Тогда
- <math>R_+ = \bigoplus_{d \ge 1} R_d</math>
называется максимальным однородным идеалом. Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества <math>S \subseteq \mathbb{P}^n</math> и однородного идеала <math>I</math> пусть
- <math>\begin{align}
\operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}(S) &= \{ f \in R_+ | f(x) = 0 \;\forall x\in S \}, \\ \operatorname{V}_{\mathbb{P}^n}(I) &= \{ x \in \mathbb{P}^n | f(x) = 0 \;\forall f \in I \}. \end{align} </math>
Напомним, что <math>f</math> не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами <math>x</math>, в которых <math>f(x)=0</math>, определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала <math>I\in R_+</math> верно
- <math>\sqrt{I} = \operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}(\operatorname{V}_{\mathbb{P}^n}(I)).</math>
Литература
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
- Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999. ISBN 5-900916-32-4.
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1970
- Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1968
См. также
Шаблон:Вклад Давида Гильберта в науку
