Русская Википедия:Теорема Гильберта — Шмидта

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теоре́ма Ги́льберта-Шми́дта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.

Формулировка теоремы

Для любого вполне непрерывного симметричного оператора <math>A</math> в гильбертовом пространстве <math>H</math> существует ортонормированная система <math>\{x_i\}</math> собственных элементов, соответствующих собственным значениям <math>\{\lambda_n\}</math> оператора <math>A</math>, такая, что для любого <math>x\in H</math> имеет место представление

<math>x=\sum_k\xi_k x_k+x_0,\ x_0\in\operatorname{Ker}\,A,\ Ax=\sum_k\lambda_k \xi_k x_k,</math>

причем суммирование может быть как конечным, так и бесконечным рядом в зависимости от числа собственных элементов оператора <math>A</math>. Если их бесконечное число, то <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0</math>.

Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных операторов

Теорема Гильберта-Шмидта может быть использована для решения неоднородного интегрального уравнения с непрерывным (а также слабо полярным) эрмитовым ядром.

Для интегрального оператора <math>(Kg)(x)=\int\limits_G\!K(x,y)g(y)\,dy</math>, теорема переформулируется так: если функция <math>f(x)</math> истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро <math>K(x,y)</math> (т.е. <math>\exists g(x)\in L^2(G)</math>, такая, что <math>f(x)=(Kg)(x)</math>), то её ряд Фурье по собственным функциям ядра <math>K(x,y)</math> сходится абсолютно и равномерно на <math>G</math> к этой функции:

<math>f(x)=\sum_{k=1}^\infty(f,\varphi_k)\varphi_k(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(g,\varphi_k)}{\lambda_k} \varphi_k(x),</math>

где <math>\varphi_k</math> и есть собственные функции ядра, соответствующие собственным значениям <math>\lambda_k</math>.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

Оператор Гильберта — Шмидта Шаблон:Вклад Давида Гильберта в науку