Русская Википедия:Теорема Гильберта 90
Теоре́ма Ги́льберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа.
Мультипликативная форма
Пусть <math>G</math> — группа Галуа конечного циклического расширения <math>E/K,</math> а <math>\sigma</math> - её образующая. Тогда норма любого элемента <math>\beta\in E</math> равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент <math>\alpha\in E</math>, что <math>\beta=\frac\alpha{\sigma(\alpha)}.</math>
Доказательство
Достаточность очевидна: если <math>\beta=\frac\alpha{\sigma(\alpha)},</math> то, учитывая мультипликативность нормы, имеем <math>N(\beta)=\frac{N(\alpha)}{N(\sigma(\alpha))}.</math> Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех <math>\sigma_i(\alpha),</math> а применение <math>\sigma</math> к такому произведению приводит лишь к перестановке сомножителей, то <math>\frac{N(\alpha)}{N(\sigma(\alpha))} = \frac{N(\alpha)}{N(\alpha)} =1.</math>
Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:
- <math>\mathrm{id}+\beta\sigma+\beta\sigma(\beta)\sigma^2+\ldots+(\beta\sigma(\beta)\ldots\sigma^{n-2}(\beta)\sigma^{n-1}).</math>
Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является нулевым. Поэтому существует элемент <math>\gamma\in E,</math> для которого
- <math>0\neq\alpha=\gamma+\beta\sigma(\gamma)+\beta\sigma(\beta)\sigma^2(\gamma)+\ldots+(\beta\sigma(\beta)\ldots\sigma^{n-2}(\beta)\sigma^{n-1}(\gamma).</math>
Если применить отображение <math>\sigma</math> к <math>\alpha,</math> а потом помножить полученное выражение на <math>\beta,</math> то первое слагаемое перейдёт во второе и т. д., а последнее перейдёт в первое, так как <math>\beta\sigma(\beta)\ldots \sigma^{n-2}(\beta)\sigma^{n-1}(\beta)=N(\beta)=1.</math>
Тогда получаем, что <math>\beta\sigma(\alpha)=\alpha,</math> деля на <math>\sigma(\alpha)\neq 0</math> имеем <math>\beta=\frac\alpha{\sigma(\alpha)}.</math> Необходимость доказана.
Аддитивная форма
Пусть <math>G</math> — группа Галуа конечного циклического расширения <math>E/K,</math> а <math>\sigma</math> - её образующая. Тогда след элемента <math>\beta\in E</math> равен 0 тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой элемент <math>\alpha\in E,</math> что <math>\beta=\alpha-\sigma(\alpha).</math>
Доказательство достаточности полностью аналогично мультипликативному случаю, а для необходимости рассматриваем элемент <math>\gamma\in E,</math> для которого <math>\mathrm{tr}\gamma \neq 0</math> и строим требуемое <math>\alpha</math> в виде:
- <math>\alpha=\frac{1}{\mathrm{tr}\gamma}[\beta\sigma(\gamma)+(\beta+\sigma(\beta))\sigma^2(\gamma)+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma^{n-2}(\beta))\sigma^{n-1}(\gamma)|.</math>
Литература
См. также
Шаблон:Вклад Давида Гильберта в науку
