Русская Википедия:Теорема Грина — Тао

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году[1], согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

Формулировка

Хотя теорема Грина — Тао известна только доказательством самого факта присутствия сколько угодно длинных прогрессий в множестве простых чисел, однако имеются[2] значительные усиления этого утверждения: во-первых, утверждение остаётся верным для произвольного множества простых чисел положительной плотности (относительно множества всех простых чисел); во-вторых, имеются отдельные верхние оценки того, насколько большими могут быть элементы минимальной прогрессии в рассматриваемом множестве.

Далее в формулировках <math>\mathbb P</math> означает множество простых чисел. Запись <math>\log_{[k]} x</math> означает <math>\log \log \dots \log x</math>, где логарифм берётся <math>k</math> раз.

Шаблон:Рамка Теорема Грина — Тао

Пусть <math>A</math> — множество простых чисел, и его плотность относительно простых <math>\delta_{\mathbb P}(A) = \lim \sup_{N \to \infty} \frac{|A \cap \{1, \dots, N\}|}{|\mathbb P \cap \{1, \dots, N\}|}</math> строго положительна. Тогда для любого <math>k \geqslant 2</math> множество <math>A</math> содержит арифметическую прогрессию длины <math>k</math>. Шаблон:Конец рамки

В своей отдельной более ранней работе[3] Грин доказал результат, касающийся функции распределения множества <math>A</math>, но только для частного случая трёхчленной прогрессии.

Шаблон:Рамка Существует константа <math>c</math> такая, что если для множества простых чисел <math>A \subset \{1, \dots, N\}</math> выполнено <math>|A| > c \frac{N \sqrt{\log_{[5]} N}}{\log{N} \sqrt{\log_{[4]} N}}</math>, то оно содержит трёхчленную арифметическую прогрессию. Шаблон:Конец рамки

Поскольку требуемая функция асимптотически меньше количества простых чисел на отрезке <math>[1, n]</math>, то теорема остаётся верна для бесконечных множеств положительной плотности, когда <math>|A \cap \{1, \dots, N\}| > \delta \frac{N}{\log N}</math>, <math>\delta > 0</math>. Таким образом, можно переформулировать последнюю теорему для фиксированной плотности.

Шаблон:Рамка Существует константа <math>c</math> такая, что для любого множества простых чисел <math>A \subset \{1, \dots, N\}</math> и его плотности <math>\delta = \frac{|A \cap \{1, \dots, N\}|}{|\mathbb P \cap \{1, \dots, N\}|}</math> будет выполнено следствие: если <math>N \geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta^2\right)^{c/\delta^2}\right)}}}</math>, то <math>A</math> содержит трёхчленную арифметическую прогрессию. Шаблон:Конец рамки

Примеры

Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, не больших 23 (см. примориал).
  • 17 мая 2008 года Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:
    6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 24.
  • 12 апреля 2010 года Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел:
    43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 25 (Шаблон:OEIS).

Вариации и обобщения

В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий[5]. Более точно, для любых заданных полиномов с целыми коэффициентами P1, …, Pk одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P1(m), …, x + Pk(m) — простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k).

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Citation.
  2. ↑ И. Д. Шкредов, Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях Шаблон:Wayback, с. 117.
  3. ↑ Шаблон:Citation.
  4. ↑ Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records Шаблон:Wayback.
  5. ↑ Шаблон:Citation.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теорема_Грина_—_Тао&oldid=10919645