Русская Википедия:Теорема Гротендика о расщеплении

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой. А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над <math>\mathbb{C}\mathrm{P}^1</math> является прямой суммой голоморфных 1-мерных расслоений.

История

Теорема названа в честь Александра Гротендика, доказавшего её в 1957 году. Она эквивалентна теореме, доказанной ранее Джорджем Биркгофом в 1913 году, но была известна уже в 1908 году Йосипу Племелю и в 1905 году Давиду Гильберту.

Формулировки

Формулировка Гротендика

Каждое голоморфное векторное расслоение <math> \mathcal{E} </math> над <math>\mathbb{C}\mathrm{P}^1</math> голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:

<math> \mathcal{E}\cong\mathcal{O}(a_1)\oplus \cdots \oplus \mathcal{O}(a_n),</math>

где <math> \mathcal{O}(a)</math> обозначает расслоение с классом Черна <math>a</math>. Более того, это представление единственно с точностью до перестановки слагаемых.

Формулировка Биркгофа

Обратимая матрица <math>M</math>, каждая компонента которой является многочленом Лорана от <math>z</math>, представляется в виде произведения

<math>M=M^+M^0M^-</math>,

где матрица <math>M^+</math> — многочлен от <math>z</math>, <math>M^0</math> — диагональная матрица, и матрица <math>M^-</math> — многочлен от <math>\tfrac1z</math>.

Приложения

• Теорема Гротендика о расщеплении используется в доказательстве Микалефа и Мура теоремы о сфере для положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.

Вариации и обобщения

• Тот же результат имеет место для алгебраических векторных расслоений над <math>\mathbb{P}^1_k</math> для любого поля <math>k</math>.

Литература

• Шаблон:Citation.