Русская Википедия:Теорема Гурвица (комплексный анализ)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Теоре́ма Гу́рвица — утверждение в комплексном анализе, которое описывает связь нулей голоморфной функции с нулями последовательности.

Используется в доказательстве важной теоремы Римана об отображении.

Утверждение теоремы

Пусть последовательность функций <math>f_n</math>, голоморфных в области <math>D</math>, сходится в топологии <math>O(D)</math> (то есть равномерно на компактах в <math>D</math>) к функции <math>f \ne \text{const}</math>. Если точка <math>z_0 \in D</math> является нулем функции <math>f</math>, то есть <math>f(z_0)=0</math>, то в любом круге <math>\{z: |z-z_0| < r\} \sub D</math> все функции <math>f_n</math>, начиная с некоторой, также имеют нуль.

Доказательство

По теореме Вейерштрасса предельная функция <math>f</math> голоморфна в <math>D</math>. Поскольку достаточно доказать теорему лишь для достаточно малых кругов с центром <math>z_0</math>, мы можем считать, что круг <math>U = \{z: |z-z_0| \le r\}</math> принадлежит <math>D</math>, а в <math>U</math> нет других нулей <math>f</math>, кроме <math>z_0</math>.

Положим <math>f_\ast = \min_{z \in \partial U} |f(z)|</math>, что больше нуля по построению. Из равномерной сходимости последовательности <math>f_n</math> на <math>\partial U</math> вытекает, что начиная с некоторого номера выполняется оценка <math>|f_n(z) - f(z)| < f_\ast</math> для всех <math>z \in \partial U</math>. Тогда по теореме Руше функция <math>f_n(z) = f(z) + [f_n(z) - f(z)]</math> имеет в <math>U</math> столько же нулей, сколько и <math>f</math>, то есть по крайней мере один.

Литература

• Hurwitz A. Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Würzeln mit negativen reellen Teilen besitzt. Math. Ann. , 46 (1895) pp. 273—284.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть 1. Функции одного переменного. — М.: Наука. — С. 225.