Русская Википедия:Теорема Дарбу в симплектической геометрии
Теорема Дарбу в симплектической геометрии — утверждение о том, что для любой симплектической структуры, заданной на многообразии <math>M^{2n}</math>, у любой точки в <math>M^{2n}</math> существует открытая окрестность и локальные координаты <math>q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n</math> в ней, в которых симплектическая форма <math>\omega</math> принимает канонический вид <math>\sum_{j} dp_{j} \wedge dq_{j}</math>.
Формулировка
Пусть <math>\omega</math> — симплектическая структура на <math>M^{2n}</math>. Тогда для любой точки <math>x \in M^{2n}</math> всегда существует окрестность с такими локальными регулярными координатами <math>q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n</math>, в которых форма <math>\omega</math> записывается в простейшем каноническом виде, а именно:
- <math>\omega = \sum_{i} dp_{i} \wedge dq_{i}</math>,
то есть в каждой точке этой окрестности матрица <math>\left(\omega_{ij}\right)</math> принимает блочный вид
- <math>\begin{pmatrix} \mathbb{0} & \mathbb{E} \\ -\mathbb{E} & \mathbb{0} \end{pmatrix}</math>,
где <math>\mathbb{0}</math> и <math>\mathbb{E}</math> — соответственно нулевая и единичная <math>n\times n</math>-матрицы. Совокупность <math>2\,n</math> координат <math>(q,\,p)</math> называют каноническими координатами, или координатами Дарбу, а наборы из <math>n</math> координат <math>q</math> и <math>p</math> — канонически сопряжёнными друг другу.
Доказательство
В современном доказательстве теоремы Дарбу используется так называемый трюк Мозера. Особенно нагляден он на замкнутых симплектических многообразиях. Именно, пусть <math>\omega_0, \omega_1</math> — две симплектические формы на многообразии <math>X</math>, принадлежащие одному классу когомологий де Рама. Тогда (например, рассматривая их линейные комбинации: конус невырожденных форм выпуклый) их можно связать однопараметрическим семейством симплектических форм <math>\omega_t</math>, <math>t \in [0;1]</math> таких, что класс когомологий их один и тот же. Стало быть, по определению когомологий де Рама, имеем право написать <math>\frac{\partial\omega_t}{\partial t} = d\eta_t</math>, где <math>\eta_t</math> — некоторая 1-форма. Пусть <math>v_t</math> — векторное поле такое, что <math>\iota_{v_t}\omega_t = \eta_t</math> (такое существует в силу невырожденности всех форм <math>\omega_t</math>).
Скомпонуем эти два семейства, а именно векторных полей и 2-форм, в единое векторное поле <math>V</math>, определённое на многообразии с краем <math>X \times [0;1]</math> как <math>V_{(x,t)} = \frac{\partial}{\partial t} - (v_t)_x</math>, и единую 2-форму <math>\Omega</math>, ограничивающуюся на всякое подмногообразие <math>X_t = X \times \{t\}</math> как <math>\omega_t</math> (мы неявно отождествляем <math>X_t</math> с <math>X</math> путём забывания временной координаты, и без того постоянной на <math>X_t</math>) и зануляющуюся при подстановке в неё векторного поля <math>\frac{\partial}{\partial t}</math>. Заметим, что форма <math>\Omega</math> вообще говоря не замкнута как форма на <math>X \times [0;1]</math>: выписывая явную формулу для дифференциала де Рама, легко видеть равенство <math>\iota_{\frac{\partial}{\partial t}}d\Omega = \frac{\partial\omega_t}{\partial t}</math> (им, вкупе с тождественным занулением вдоль подмногообразий <math>X_t</math>, 3-форма <math>d\Omega</math> определяется однозначно).
Итак, применим формулу Картана: <math>\left(\mathrm{Lie}_V\Omega\right)_t = \left(d\iota_V\Omega + \iota_Vd\Omega\right)_t = \frac{\partial\omega_t}{\partial t} - d\iota_{v_t}\omega_t = d\eta_t - d\eta_t = 0</math>. Следовательно, поток векторного поля <math>V</math> сохраняет форму <math>\Omega</math>. В то же время, его поток переводит подмногообразия <math>X_t</math> друг в друга. Следовательно, определяемое им отображение Коши <math>X_0 \to X_1</math>, сопоставляющее начальной точки интегральной кривой её конечную точку, переводит ограничение формы <math>\Omega</math> в ограничение формы <math>\Omega</math>, то есть определяет диффеоморфизм <math>X</math>, переводящий <math>\omega_0</math> в <math>\omega_1</math>.
В частности, когда многообразие <math>X</math> двумерно, симплектическая форма есть то же самое, что форма площади, так что соответствующий класс когомологий определяется единственным числом — своим интегралом по фундаментальному циклу, иначе говоря, площадь поверхности. Таким образом, класс симплектоморфизма симплектической поверхности определяется однозначно её родом и площадью. Этот факт был известен, кажется, ещё Пуанкаре.
Доказательство для открытой области (то есть оригинального утверждения теоремы Дарбу) несколько более муторно, хотя и не требует иных существенных идей, и есть в книгеШаблон:Sfn.
Вариации и обобщения
Вариант теоремы Дарбу для лагранжевых подмногообразий принадлежит Вайнштейну. Именно, на тотальном пространстве кокасательного расслоения ко всякому многообразию имеется каноническая симплектическая структура. С другой стороны, если <math>(X, \omega)</math> — симплектическое многообразие, и <math>Y \subset X</math> — лагранжево подмногообразие (то есть подмногообразие половинной размерности такое, что <math>\omega|_Y \equiv 0</math>), то имеется изоморфизм касательного и конормального расслоений к <math>Y</math>: касательный вектор <math>v</math> отправляется в функционал <math>\iota_v\omega</math>, зануляющийся на <math>TY</math> и потому определённый на нормальном пространстве <math>TX/TY</math>; в силу невырожденности формы <math>\omega</math> так получается всякий функционал на нормальном пространстве. Дуализируя, можно воспринимать это отображение как отображение из кокасательного расслоения в нормальное. Теорема Дарбу — Вайнштейна утверждает, что это отображение может быть проинтегрировано до настоящего отображения <math>U \to X</math>, где <math>U</math> — некоторая трубчатая окрестность нулевого сечения кокасательного расслоения <math>T^*Y</math>, притом такого, что на <math>Y</math> оно постоянно, а симплектическую форму на <math>U \subset T^*Y</math> переводит в симплектическую форму на <math>X</math>. В частности, графики замкнутых 1-форм будут при таком отображении переходить в лагранжевы подмногообразия в <math>X</math>, близкие к <math>Y</math>.
Нечётномерный аналог теоремы Дарбу для контактных многообразий приндалежит Грею.
В сущности, теорема Дарбу означает, что никаких локальных инвариантов у симплектическим многообразий нет, что при их изучении смещает фокус в сторону топологии. Некоторым сходством обладают комплексные структуры: для всякого оператора почти комплексной структуры <math>I \colon TX \to TX</math> (то есть такого, что <math>I^2 = -\mathrm{Id}_{TX}</math>), удовлетворяющего условию интегрируемости (то есть тому, что мнимые векторные поля, собственные с собственным числом <math>\sqrt{-1}</math> для оператора <math>I</math>, при коммутировании дают поле, также являющимся собственным для <math>I</math> с собственным числом <math>\sqrt{-1}</math>), существует комплексная карта, то есть локальное голоморфное отображение в область в <math>\Complex^n</math>. Это утверждение составляет теорему Ньюлендера — Ниренберга, доказательство которой существенно более сложно. Пример ситуации, когда теорема Дарбу неверна, дают римановы многообразия: для локальной изометрии две метрики должны иметь одинаковые тензоры римановой кривизны. Вместе с тем, римановы метрики проще в том смысле, что для них условие «интегрируемости» (аналогичное вышеприведённому условию для почти комплексной структуры или условию <math>d\omega = 0</math> для невырожденной 2-формы) всегда автоматически выполнено: для почти симплектической и почти комплексной структуры условие интегрируемости равносильно существованию линейной связности без кручения, относительно которой эти тензоры параллельны, в то время как для римановой метрики такая связность существует и притом единственна.
Для голоморфно симплектических многообразий аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна также не может существовать, притом по существенным причинам. Например, рассмотрим K3-поверхность <math>X</math> с неизотривиальным эллиптическим расслоением (то есть расслоением, общий слой которого гладок, и в окрестности всякого неособого слоя все слои — попарно неизоморфные эллиптические кривые), и <math>E</math> — один из слоёв этого расслоения. Голоморфное кокасательное расслоение к эллиптической кривой тривиально, и графики замкнутых 1-форм, то есть его постоянных сечений, являются эллиптическими кривыми, биголоморфными данной. С другой стороны, как было замечено Хитчиным, голоморфно симплектическая форма, если на неё смотреть как на 2-форму с комплексными коэффициентами, позволяет восстановить комплексную структуру на многообразии однозначно. Если бы существовало отображение <math>U \to X</math>, где <math>U \subset T^*E</math> — окрестность нулевого сечения, которое переводит голоморфно симплектическую форму на <math>T^*E</math> в голоморфно симплектическую форму на <math>X</math>, то оно было бы само голоморфным, и переводило близкие к <math>E \subset U</math> кривые в близкие к <math>E \subset X</math> кривые, притом биголоморфные <math>E</math>. Но из формулы присоединения видно, что все деформации эллиптической кривой на K3-поверхности образуют однопараметрическое семейство, и принадлежат к одному и тому же эллиптическому расслоению. Стало быть, если расслоение не изотривиально, то такого отображения не может существовать. Для голоморфных <math>\Complex\mathbf{P}^n</math> в голоморфно симплектических многообразиях (например, рациональных кривых на K3-поверхностях) аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна всё же имеется, но в его доказательстве ключевыми являются не геометрические соображения типа трюка Мозера, а теория особенностей или даже теория представлений: так, при сдутии рациональной кривой на К3-поверхности образуется особенность типа A1, она же фактор <math>\Complex^2/\{\pm 1\}</math>, она же особенность у нильпотентного конуса алгебры Ли <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>; а все такие особенности эквивалентны с точностью до аналитического изоморфизма, что даёт изоморфизм для окрестности кривой перед сдутием. Для кривых же большего рода верно в точности противоположное: знание сколь угодно малой окрестности кривой позволяет восстановить поверхность (или, по крайней мере, поле мероморфных функций на ней) однозначно. В принципе, измерять то, насколько окрестность комплексного подмногообразия не допускает изоморфизма с окрестностью нулевого сечения своего нормального расслоения, можно было бы измерять при помощи инварианта, похожего на класс Уэды; но он имеется только для подмногообразий коразмерности один, то есть, если речь идёт о лагранжевых подмногообразиях, кривых на поверхностях. В случае эллиптических кривых на комплексных поверхностях, нормальное расслоение к которым топологически тривиально, критерий наличия локального биголоморфизма с кокасательным расслоением даётся так называемой теоремой Арнольда о малых знаменателях: если <math>L</math> — нормальное расслоение эллиптической кривой <math>E</math>, лежащей на комплексной поверхности <math>X</math>, то <math>X</math> вдоль <math>E</math> локально биголоморфна окрестности нулевого сечения <math>L</math> в том и только том случае, если для любой инвариантной метрики <math>\rho</math> на группе Пикара <math>\mathrm{Pic}(E)</math> функция <math>-\ln \rho({\cal O}_E,L^{\otimes n})</math> имеет асимптотику <math>O(\ln n)</math> (такое же условие на рост знаменателей подходящих дробей к числу является необходимым для того, чтобы это число могло быть алгебраическим, откуда и название теоремы; любопытно, что нарушение схожего условия на отношение периодов обращения небесных тел делает обращение по некоторым орбитам маловероятным, что порождает щели Кирквуда и деление Кассини, см. подробнее в статье «Орбитальный резонанс»). Вместе с тем, в больших размерностях эта наука далека от полного завершения: так, гипотеза Мацушиты, утверждающая, что лагранжево расслоение на гиперкэлеровом многообразии либо изотривиально, либо его слои (которые всегда являются абелевыми многообразиями — это нетрудная теорема) составляют семейство полной размерности в пространстве модулей абелевых многообразий, до сих пор не доказана (хотя в 2015 году существенное продвижение в данном вопросе было получено ван Геменом и Вуазен).
То, что надежды на существование теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий нету, можно показать иначе. Именно, на окрестности нулевого сечения имеется голоморфное действие группы <math>\mathrm{U}(1)</math>, которое умножает кокасательные вектора на комплексные числа, равные по модулю единице. В вышеприведённом примере неизотривиальной эллиптической К3-поверхности такое локальное действие невозможно, потому что все его слои в любой окрестности попарно не биголоморфны. В некотором смысле, это соображение есть единственное препятствие к существованию аналога теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий. Во всяком случае, следующая теорема содержится в мемуаре Каледина, представленном им в Триесте в 1994 году:[1]
Шаблон:Рамка Пусть <math>X</math> — голоморфно симплектическое многообразие, снабжённое регулярным голоморфным действием группы <math>\mathrm{U}(1)</math> таким, что элемент <math>z\in\mathrm{U}(1)</math> умножает голоморфно симплектическую форму на число <math>z \in \Complex</math>. Тогда существует открытая окрестность <math>U \subset X</math> множества неподвижных точек этого действия <math>Y = X^{\mathrm{U}(1)} \subset X</math> и каноническое отображение <math>U \to T^*Y</math> такое, что гиперкэлерова метрика на <math>U</math> индуцируется посредством этого отображения с канонической гиперкэлеровой структуры на <math>T^*Y</math>. Шаблон:Конец рамки
Им же доказана версия этого утверждения для более общих гиперкомплексных многообразий.
Примечания
Литература
