Русская Википедия:Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

Дирихле доказал, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k справедливо следующее: Шаблон:Рамка Пусть <math>l,k>0</math> — целые числа, и <math>(l,k)=1</math>.

Тогда существует бесконечно много простых чисел <math>p</math> таких, что <math>p \equiv l \pmod k</math>. Шаблон:Конец рамки

История доказательств

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательство теоремы элементарными методами. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации

При рассмотрении простых <math>p \equiv l \pmod k</math> довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы, Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах <math>l</math> и <math>k</math>:

<math>\lim_{s\to 1+}\frac{\sum\limits_p\dfrac{1}{p^s}}{\ln\dfrac{1}{s-1}}=\frac{1}{\varphi(k)},</math>

где суммирование ведётся по всем простым числам <math>p</math> с условием <math>p\equiv l \pmod k</math>, а <math>\varphi</math> — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов <math>\mod k</math>, поскольку

<math>\lim_{s\to 1+}\dfrac{\sum\limits_p\dfrac{1}{p^s}}{\ln\dfrac{1}{s-1}}=1,</math>

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимно простых чисел <math>l</math> и <math>k</math> ряд <math>\sum \limits_{p} {\frac{1}{p}}</math>, где суммирование ведётся по простым <math>p \equiv l \pmod k</math>, расходится.

См. также

• Характеры — основной математический инструмент изучения простых чисел в арифметической прогрессии