Русская Википедия:Теорема Дроз-Фарни

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Droz-Farny line.svg
Линия, проходящая через <math>A_0,B_0,C_0</math> это — Дроз-Фарни прямая (Droz-Farny line)

Теорема Дроз-Фарни — это свойство двух перпендикуляров, проходящих через ортоцентр произвольного треугольника. Линия, проходящая через <math>A_0,B_0,C_0</math> — прямая Дроз-Фарни.

Формулировка

Пусть <math>T</math> — треугольник с вершинами <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, и пусть <math>H</math> — его ортоцентр (точка пересечения трех его высот). Пусть <math>L_1</math> и <math>L_2</math> — любые две взаимно перпендикулярные линии, проходящие через <math>H</math>. Пусть <math>A_1</math>, <math>B_1</math> и <math>C_1</math> — три точки, в которых прямая <math>L_1</math> пересекает стороны <math>BC</math>, <math>CA</math> и <math>AB</math> соответственно. Аналогично определяются <math>A_2</math>, <math>B_2</math> и <math>C_2</math>. Теорема Дроз-Фарни утверждает то, что середины трех отрезков <math>A_1A_2</math>, <math>B_1B_2</math> и <math>C_1C_2</math> лежат на одной прямой (коллинеарны).[1],[2],[3]

История

Теорема сформулирована Шаблон:Iw в 1899 году.[4][5]

Вариации и обобщения

Обобщение Горматига

Обобщение теоремы Дроз-Фарни было доказано в 1930 году Рене Горматигом.[6]. Как и выше, пусть <math>T</math> — треугольник с вершинами <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>. Пусть <math>P</math> — любая точка, отличная от <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, и <math>l</math> — любая прямая, проходящая через <math>P</math>. Пусть <math>A_1</math>, <math>B_1</math> и <math>C_1</math> — точки на <math>BC</math>, <math>CA</math> и <math>AB</math> соответственно, взятые таким образом, чтобы прямые <math>PA_1</math>, <math>PB_1</math> и <math>PC_1</math> были образами прямых <math>PA</math>, <math>PB</math> и <math>PC</math> соответственно при их отражении относительно прямой <math>l</math>. Тогда теорема Горматига утверждает то, что точки <math>A_1</math>, <math>B_1</math> и <math>C_1</math> коллинеарны. Теорема Дроз-Фарни является частным случаем этой теоремы, когда точка <math>P</math> является ортоцентром треугольника <math>T</math>.

Обобщение Дао

Теорема была обобщена Дао Тхань Оайем. Обобщение выглядит следующим образом:

  • Первое обобщение: Пусть <math>P</math> точка на плоскости и пусть три параллельных отрезка <math>AA', BB', CC'</math> таковы, что их середины и точка <math>P</math> лежат на одной прямой. Тогда <math>PA', PB', PC'</math> пересекаются соответственно в трех коллинеарных точках <math>BC, CA, AB</math>.[7]
  • Второе обобщение: пусть <math>S</math> — коника, а <math>P</math> — точка плоскости. Проведем три прямые da, db, dc через точку <math>P</math>, такие, что они пересекаются на конике соответственно A в точке A'; B в точке B'; C в точке C'. Пусть <math>D</math> — точка на поляре точки <math>P</math> относительно (S) или D лежит на конике (S). Пусть DA' ∩ BC =A0; DB' ∩ AC = B0; DC' ∩ AB= C0. Тогда A0, B0, C0 лежат на одной прямой[8].[9][10]
Файл:Daotheoremonconic1.svg
Второе обобщение Дао для теоремы Дроз-Фарни

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ A. Droz-Farny (1899), «Question 14111». The Educational Times, volume 71, pages 89-90
  2. ↑ Jean-Louis Ayme (2004), «A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem». Forum Geometricorum, volume 14, pages 219—224, ISSN 1534—1178
  3. ↑ Jean-Louis Ayme (2004), «A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem». Forum Geometricorum, volume 14, pages 219—224, ISSN 1534—1178
  4. ↑ A. Droz-Farny (1899), «Question 14111». The Educational Times, volume 71, pages 89-90
  5. ↑ J. J. O’Connor and E. F. Robertson (2006), Arnold Droz-Farny. The MacTutor History of Mathematics archive. Online document, accessed on 2014-10-05.
  6. ↑ René Goormaghtigh (1930), «Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg». Mathesis, volume 44, page 25
  7. ↑ Son Tran Hoang (2014), «A synthetic proof of Dao’s generalization of Goormaghtigh’s theorem.» Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, volume 3, pages 125—129, ISSN 2284-5569
  8. ↑ Nguyen Ngoc Giang, A proof of Dao theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102—105, ISSN 2284-5569
  9. ↑ Geoff Smith (2015). 99.20 A projective Simson line. The Mathematical Gazette, 99, pp 339—341. doi:10.1017/mag.2015.47
  10. ↑ O.T.Dao 29-July-2013, Two Pascals merge into one, Cut-the-Knot
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теорема_Дроз-Фарни&oldid=10919687