Русская Википедия:Теорема Зеелигера
Теорема Зеелигера (Зелигера[1]) в астрономии — утверждение, что для любого <math>m</math> число звёзд с видимой звёздной величиной ярче <math>m + 1</math> в 3,98 раз больше, чем звёзд ярче величины <math>m</math>. Теорема выполняется при отсутствии межзвёздного поглощения и равномерном распределении звёзд в пространстве. Теорема сформулирована Хуго Зелигером и носит его имя. Отклонения результатов наблюдения от вывода теоремы вызваны главным образом наличием межзвёздного поглощения и позволяют измерить его величину.
Формулировка
Теорема Зеелигера формулируется в двух предположениях: звёзды всех абсолютных звёздных величин распространены в пространстве равномерно, а межзвёздное поглощение отсутствует[2][3].
Можно рассмотреть звезду произвольной светимости, которая находится на расстоянии <math>r</math> от наблюдателя и имеет видимую звёздную величину <math>m</math>. Из предположения об отсутствии поглощения следует, что освещённость от звезды обратно пропорциональна квадрату расстояния до неё, а так как звезда такой же светимости величины <math>m + 1</math> приблизительно в 2,512 разШаблон:Ref+ тусклее звезды с величиной <math>m</math>, она должна находиться на расстоянии <math>\sqrt{2{,}512} \cdot r \approx 1{,}58~r</math>[2].
Таким образом, при одинаковой светимости звёзды величины ярче <math>m</math> должны находиться внутри сферы с радиусом <math>r</math>, а ярче <math>m + 1</math> — в сфере радиуса <math>\sqrt{2{,}512} \cdot r</math>. Из предположения о равномерности распределения звёзд в пространстве следует, что число <math>N</math> звёзд пропорционально объёму, который они занимают[2]:
- <math>\frac{N(m + 1)}{N(m)} = \frac{\frac{4}{3}\pi (\sqrt{2{,}512} \cdot r)^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \sqrt{2{,}512}^3 \approx 3{,}98</math>
Таким образом, для звёзд любой светимости, а значит, и для всей совокупности звёзд оказывается верно, что количество звёзд ярче величины <math>m + 1</math> примерно в 3,98 раз больше количества звёзд ярче величины <math>m</math>[2].
Сравнение с наблюдениями
Реальное распределение звёзд по звёздным величинам отличается от выводимого из теоремы — функция <math>N(m)</math> при увеличении <math>m</math> растёт медленнее, чем предполагается. Это отклонение вызвано в первую очередь существованием межзвёздного поглощения: чем оно больше, тем сильнее должно быть отклонение наблюдательных данных от выводимого в теореме[1]. Кроме того, для областей вблизи полюсов галактики <math>N(m)</math> возрастает медленнее, чем вблизи галактического экватора, иными словами, тусклые звёзды больше сконцентрированы в плоскости диска Галактики[2].
| <math>m</math> | <math>N(m)</math> для определённой части неба | <math>\frac{N(m + 1)}{N(m)}</math> | ||
|---|---|---|---|---|
| Всё небо | Вблизи галактического экватора | Вблизи полюсов Галактики | ||
| 4 | 3,57Шаблон:E | 2,88 | 2,88 | 2,88 |
| 5 | 1,32Шаблон:E | 2,85 | 2,85 | 2,85 |
| 6 | 2,94Шаблон:E | 2,80 | 2,82 | 2,77 |
| 7 | 8,24Шаблон:E | 2,77 | 2,80 | 2,70 |
| 8 | 2,28Шаблон:E | 2,72 | 2,77 | 2,60 |
| 9 | 6,21Шаблон:E | 2,67 | 2,75 | 2,50 |
| 10 | 1,66Шаблон:E | 2,61 | 2,70 | 2,39 |
| 11 | 4,32Шаблон:E | 2,54 | 2,67 | 2,29 |
| 12 | 1,10Шаблон:E | 2,47 | 2,62 | 2,17 |
| 13 | 2,71Шаблон:E | 2,39 | 2,55 | 2,06 |
| 14 | 6,47Шаблон:E | 2,31 | 2,46 | 1,97 |
| 15 | 1,49Шаблон:E | 2,22 | 2,35 | 1,87 |
| 16 | 3,31Шаблон:E | 2,12 | 2,23 | 1,77 |
| 17 | 7,03Шаблон:E | 2,03 | 2,13 | 1,68 |
| 18 | 1,43Шаблон:E | 1,93 | 2,04 | 1,60 |
| 19 | 2,75Шаблон:E | 1,84 | 1,93 | 1,51 |
| 20 | 5,06Шаблон:E | 1,76 | 1,84 | 1,43 |
| 21 | 8,89Шаблон:E | |||
История изучения
Теорему впервые сформулировал Хуго Зелигер в 1889 году[2]. Он же, проведя звёздные подсчёты до величины 13,5m, оценил величину межзвёздного поглощения в диске Галактики, но его оценка оказалась сильно заниженной: она составила 0,3m на 4 килопарсека, в то время как сейчас эта величина оценивается как 2m на килопарсекШаблон:Sfn. По этим же данным он построил модель Млечного Пути, которая имела форму эллипсоида вращения размером 14,4×3,3 килопарсека, с Солнцем в центре[1].
Примечания
Комментарии
Источники
Литература
