Русская Википедия:Теорема Зейферта — ван Кампена
Теорема Зейферта — ван Кампена выражает фундаментальную группу топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подмножеств, покрывающих пространство.
Названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена.
Формулировка
Пусть <math>X</math> — топологическое пространство, <math>V,U\subset X</math> — два линейно связных открытых множества таких, что пересечение <math>W=V\cap U</math> также линейно связно, и <math>X=V\cup U</math>. Зафиксируем точку <math>p\in W</math>. Заметим, что включения
- <math>W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X</math>
индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп
- <math>I\colon \pi_1(W,p)\to \pi_1(U,p)</math>, <math>J\colon \pi_1(W,p)\to \pi_1(V,p)</math>, <math>\pi_1(U,p)\to \pi_1(X,p)</math> и <math>\pi_1(V,p)\to \pi_1(X,p)</math>.
Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп, то есть
- <math>\pi_1(X,p)=\pi_1(U,p)*_{\pi_1(W,p)}\pi_1(V,p).</math>
Замечания
- Если даны задания групп <math>\pi_1(U,p)</math> и <math>\pi_1(V,p)</math>
- <math>\begin{align}
\pi_1(U,p) &= \langle u_1,\cdots,u_k \mid\alpha_1,\cdots,\alpha_l\rangle \\ \pi_1(V,p) &= \langle v_1,\cdots,v_m \mid \beta_1,\cdots,\beta_n\rangle \\ \end{align}</math>
- и <math> w_1,\cdots,w_s </math> — образующие группы <math>\pi_1(W,p)</math>, то
- <math>\pi_1(X,p)=\left \langle u_1,\cdots,u_k, v_1,\cdots,v_m \left | \alpha_1,\cdots,\alpha_l, \beta_1,\cdots,\beta_n, I(w_1)J(w_1)^{-1},\cdots,I(w_p)J(w_p)^{-1} \right. \right \rangle.</math>
Следствия
- Если пересечение <math>W</math> односвязно, то
- <math>\pi_1(X,p)=\pi_1(U,p)*\pi_1(V,p),</math>
- то есть фундаментальна группа <math>X</math> изоморфна свободному произведению фундаментальных групп <math>U</math> и <math>V</math>.
- В частности,
- <math>\pi_1(X_1\vee X_2)=\pi_1(X_1)*\pi_1(X_2),</math>
- для букета <math>X_1\vee X_2</math> связных и локально односвязных пространств <math>X_1</math> и <math>X_2</math>.
- Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением.
- Например сферу <math>X=S^2</math> можно покрыть двумя дисками <math>U=S^2\backslash \{n\}</math> и <math>V=S^2\backslash \{s\}</math>, где <math>n</math> и <math>s</math> обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение <math>W=V\cap U=S^2\backslash \{n,s\}</math> связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа <math>W</math> также тривиальна.
Вариации и обобщения
- Существует обобщение теоремы для фундаментальных группоидов. Она позволяет работать в случае если <math>W</math> не связно.
- Последовательность Майера — Вьеториса — аналогичная теорема для подсчёта гомологий.
Ссылки
- Шаблон:Книга
- Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
- E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.
