Русская Википедия:Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке утверждает, что для любой точки выпуклой оболочки подмножества евклидового пространства найдётся содержащий её невырожденный симплекс с вершинами в этом подмножестве.

Формулировка теоремы

Пусть <math>A</math> — компакт в <math>m</math>-мерном евклидовом пространстве. Тогда любая точка <math>x</math> в выпуклой оболочке <math>A</math> является выпуклой комбинацией не более чем <math>m + 1</math> точек множества <math>A</math>Шаблон:Sfn. То есть

<math>\operatorname{Conv} A = \left\{ x\in\mathbb{R}^m : x = \sum_{i=1}^{m+1}\lambda_i x_i,\quad x_i \in A, \quad \lambda_i \geqslant 0, \quad \sum_{i=1}^{m+1}\lambda_i = 1,\quad i = 1,\ 2,\ \dots,\ m+1\right\}</math>

Связанные результаты

• В случае, когда одна из координат точки <math>x \in \operatorname{Conv} A</math> достигает экстремального значения (для множества A), эта точка может быть представлена как выпуклая комбинация не более чем m точек AШаблон:Sfn.

• С теоремой Каратеодори о выпуклой оболочке связана также теорема ХеллиШаблон:Sfn.

• Выпуклая оболочка компактного множества компактна. Это утверждение также иногда называется теоремой Каратеодори.

Литература

• Шаблон:Книга