Русская Википедия:Теорема Каратеодори — Тёплица

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Каратеодори — Тёплица — теорема математического анализа, названная в честь математиков Константина Каратеодори и Отто Тёплица:

Пусть <math>\Delta:=\{z\,:\,|z|<1\}</math> — единичный круг в комплексной плоскости <math>\mathbb C.</math>

Множество всех функций <math>h(z)</math> с положительной в <math>\Delta</math> вещественной частью и нормировкой <math>h(0)=1,</math> отображающих круг <math>\Delta</math> в правую полуплоскость называется классом Каратеодори и обозначается через <math>C.</math>

Каратеодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы коэффициентов <math>(\{h\}_1,\ldots,\{h\}_n),</math> где <math>n\in\mathbb N,</math> на классе <math>C.</math>

Множество значений системы коэффициентов <math>(\{h\}_1,\ldots,\{h\}_n),</math> <math>n\in\mathbb N</math> на классе <math>C</math> есть замкнутое выпуклое ограниченное множество <math>K_n</math> точек <math>n</math>-мерного комплексного евклидова пространства <math>\mathbb C^n</math> для которых определители

<math>

 \det{\{a_{ij}\}_{i,j=0}^{k}}, \qquad 1\leqslant k\leqslant n,

</math> где

<math>

 a_{ii}=2, \qquad
 a_{ij}=\{h\}_{j-i}, \quad j>i, \qquad
 a_{ji}=\overline{a_{ij}}, \quad j<i,

</math> либо все положительны, либо положительны до какого-то номера, начиная с которого равны нулю. Последний случай отвечает принадлежности точки <math>(\{h\}_1,\ldots,\{h\}_n)</math> границе <math>\partial K_n</math> тела коэффициентов <math>K_n.</math> Каждой граничной точке этого тела отвечает только одна функция класса <math>C,</math> имеющая вид выпуклой линейной комбинации

<math>

 h^{(k)}(z)=\sum_{\nu=1}^k\alpha_{\nu}\frac{1+e^{i\varphi_{\nu}}z}
 {1-e^{i\,\varphi_{\nu}}z}

</math> с коэффициентами <math>\alpha_{\nu},</math> причем <math>1\leqslant k\leqslant n</math> и <math>\varphi_{\nu}\neq\varphi_{\mu}</math> при <math>\mu\neq\nu,</math> <math>\mu,\nu=1,\ldots,n.</math>

См. также

• Теорема Каратеодори — Фейера.

Литература

• Carathéodory C. Über die Variabilitätsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion Rendiconti Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~193—217.
• Töplitz O. Über die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen Rendiconti. Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~191—192.