Русская Википедия:Теорема Каратеодори — Фейера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Каратеодори — Фейера:

Пусть

<math>P(z)=~c_0+~c_1 z+\ldots +c_{n-1}z^{n-1}</math>

многочлен, <math>P\not \equiv 0</math>. Существует единственная рациональная функция

<math>R(z)=R(z,~c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1})</math>

вида

<math>R(z)=\lambda {\bar{\alpha}_{n-1}+\bar{\alpha}_{n-2}z+\ldots +\bar{\alpha}_{0}z^{n-1} \over \alpha_0+\alpha_1z+\ldots+\alpha_{n-1}z^{n-1}},\ \lambda > 0,</math>

регулярная в <math>\left| z \right| \leqslant 1</math> и имеющая в своём разложении в ряд Маклорена <math>n</math> первых коэффициентов, равных соответственно <math>c_0,~c_1, \ldots ,~c_{n-1}</math>. Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение

<math>M_f = \sup_{\left| z \right| < 1} \left| f(z) \right|</math>

в классе всех регулярных в круге <math>\left| z \right| < 1</math> функций <math>f(z)</math> вида

<math>f(z)=P(z)+~a_n z^{n}+\ldots,</math>

и указанное наименьшее значение равно

<math>\lambda = \lambda(c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1})</math>

Число <math>\lambda(c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1})</math> равно наибольшему положительному корню уравнения <math>2n</math>-й степени

<math>\begin{vmatrix}

-\lambda & 0 & \ldots & 0 & c_0 & c_1 & \ldots & c_{n-1} \\ 0 & -\lambda & \ldots & 0 & 0 & c_0 & \ldots & c_{n-2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & -\lambda & 0 & 0 & \ldots & c_0 \\ \bar{c_0} & 0 & \ldots & 0 & -\lambda & 0 & \ldots & 0 \\ \bar{c_1} & \bar{c_0} & \ldots & 0 & 0 & -\lambda & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \bar{c}_{n-1} & \bar{c}_{n-2} & \ldots & \bar{c}_0 & 0 & 0 & \ldots & -\lambda \end{vmatrix} </math>

Если <math>c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1}</math> — действительные числа, то <math>\lambda(c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1})</math> являются наибольшим из абсолютных значений корней уравнения <math>n</math>-й степени

<math>\begin{vmatrix}

-\lambda & 0 & \ldots & 0 & c_0 \\ 0 & -\lambda & \ldots & c_0 & c_1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ c_0 & c_1 & \ldots & c_{n-2} & c_{n-1}-\lambda \end{vmatrix} = 0</math>

Литература

• Carathéodory C., Fejer L. Rend. Circolo mat. Palermo, — 1911, v. 32, p. 218—239.
• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., — Шаблон:М, 1966.