Русская Википедия:Теорема Карлемана о квазианалитических классах функций

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Карлемана о квазианалитических классах функций — утверждение о необходимых и достаточных условиях квазианалитичности класса функций. Была доказана Карлеманом в 1926 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

Квазианалитический класс функций

Пусть <math>A_{0}=1, A_{1}, ..., A_{n}</math> - последовательность положительных чисел. Обозначим <math>C_{A}</math> множество функций, определённых на интервале <math>\left ( -1, 1 \right )</math>, бесконечно дифференцируемых на нём и удовлетворяющих неравенствам <math>\max_{-1 \leqslant x \leqslant 1} \left | f^{(\nu)}(x) \right | \leqslant B^{\nu}A_{\nu}</math>, где <math>\nu = 0, 1, 2, ...</math>, <math>B</math> - константа, зависящая от <math>f(x)</math>.

Класс <math>C_{A}</math> называется квазианалитическим, если функция, ему принадлежащая, полностью определяется на интервале <math>\left ( -1, 1 \right )</math> значениями своих производных <math>f^{(\nu)}(x)</math> в одной точке <math>x_{0}</math>. То есть если из равенств <math>f^{(\nu)}(x_{0}) = 0</math> и принадлежности <math>f(x)</math> классу <math>C_{A}</math> следует, что <math>f(x) \equiv 0</math>.

Формулировка

Необходимым и достаточным условием квазианалитичности класса <math>C_{A}</math> является расходимость интеграла

<math>\int_{0}^{\infty} \lg \left ( \sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{v^{2 \nu}}{A_{\nu}^{2}} \right ) \frac{dx}{1+x^{2}}</math>

или, что то же самое, расходимость наименьшей невозрастающей мажоранты ряда

<math>\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{1}{A_{\nu}^{\frac{1}{\nu}}}</math>

См. также

• Квазианалитическая функция