Русская Википедия:Теорема Карунена — Лоэва

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:RoughTranslation Важным принципиальным вопросом теории дискретизации является вопрос об объёме дискретного описания сигналов, то есть о количестве <math>N</math> базисных функций, используемых для представления:

<math>a(t)=\sum_{k=0}^{N-1}\alpha_{k}\varphi_{k}(t)</math>.

Чтобы найти оптимальный базис, нужно определить класс сигналов, для которого он отыскивается, а также задать точность восстановления для этого класса. При статистическом подходе к описанию сигналов оптимальным <math>N</math> — мерным базисом для представления отдельных реализаций сигналов обычно считается базис, при котором норма ошибки, усредненная по ансамблю реализаций, минимальна. В этом случае необходимые и достаточные условия минимума нормы ошибки представления сигнала в виде суммы базисных функций определяет теорема Карунена-Лоэва.

Популярная формулировка

Минимальное значение нормы ошибки представления сигналов на интервале протяженностью <math>T</math> достигается при использовании в качестве базиса собственных функций оператора, ядром которого является корреляционная функция сигналов <math>R_{a}(t, \tau)</math>:

<math>\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}R_{a}(t, \tau)\varphi_{k}(\tau)d\tau=\lambda_{k}\varphi_{k}(t)</math>,

соответствующих <math>N</math> наибольшим собственным значениям. При этом норма ошибки равна:

<math>\| \epsilon \|^{2}_{min}=\|a(t)-\sum_{k=0}^{N-1}\alpha_{k}\varphi_{k}(t)\|^{2}_{min}=\sum_{k=N}^{\infty}\lambda_{k}</math>.

Такое разложение является разложением Карунена-ЛоэваШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Применение

В теории случайных процессов теорема Карунена-Лоэва (названа в честь Кари Карунена и Мишеля Лоэва) — представление случайного процесса в виде бесконечной линейной комбинации ортогональных функций, аналогичное представлению рядов Фурье — последовательному представлению функций на ограниченном интервале. В отличие от рядов Фурье, где коэффициенты являются действительными числами и базис представления состоит из синусоидальных функций (то есть, из функций синус и косинус с разными частотами), коэффициенты в теореме Карунена-Лоэва — случайные переменные, и базис представления зависит от процесса. Ортогональные базисные функции, использованные в этом представлении, определяет функция ковариации процесса. Если мы рассматриваем стохастический процесс как случайную функцию F, то есть процесс, в котором функция на интервале [a, b] принимает значение F, то эта теорема может рассматриваться как случайное ортонормальное разложение F.

Центрированный случайный процесс {Xt}t ∈ [a, b] (где центрирование означает, что математические ожидания E(Xt) существуют и равны нулю для всех значений параметра t из [a, b]), удовлетворяющий техническому условию непрерывности, допускает разложение следующего вида:

<math> \mathbf{X}_t = \sum_{k=1}^\infty \mathbf{Z}_k e_k(t). </math>

где Zk — взаимнонекоррелированые случайные величины и функции ek — непрерывные вещественные функции на [a, b], ортогональные в L² [a, b]. В случае нецентрированного процесса имеет место аналогичное разложение, получаемое разложением функции математического ожидания в базисе ek.

Если процесс <math> \mathbf{X}_t </math> гауссовский, то случайные величины Zk — тоже гауссовские и являются независимыми. Этот результат обобщает преобразования Карунена-Лоэва. Важным примером центрированного случайного процесса на интервале [0,1] является винеровский процесс, и теорема Карунена-Лоэва может быть использована для получения канонического ортогонального представления. В этом случае разложение состоит из синусоидальных функций.

Приведенные выше разложения в также известны как разложения или декомпозиция Карунена-Лоэва (эмпирическая версия, то есть, с коэффициентами из исходных числовых данных), как анализ главных компонент, собственное ортогональное разложение или преобразование Хотеллинга.

Формулировка

Сформулируем результат в терминах комплекснозначных стохастических процессов. Результаты могут быть применены к вещественнозначным процессам без модификаций, вспоминая, что число, комплексно-сопряженное с действительным числом, совпадает с ним самим.

Для случайных элементов X и Y скалярное произведение определяется формулой

<math> \langle \mathbf{X}|\mathbf{Y} \rangle = \operatorname{E}(\mathbf{X^*}\mathbf{Y})</math>

где * обозначает операцию комплексного сопряжения.

Статистики второго порядка

Скалярное произведение корректно определено, если как <math>X</math>, так и <math>Y</math> имеют конечные вторые моменты, или, что то же самое, если они оба квадратично интегрируемы. Отметим, что скалярное произведение связано с ковариацией и корреляцией. В частности, для случайных переменных со средним нулевым значением, ковариация и скалярное произведение совпадают. Функция автоковариации <math>K_\mathrm{XX}</math>

<math> K_\mathrm{XX}(t,s) = \operatorname{Cov}[ X(t),X(s) ] = \langle \mathbf{X}_t | \mathbf{X}_s \rangle </math>
<math>= \mathrm{E} \{ [ X(t)-\mu_X(t) ]^* [ X(s)-\mu_X(s) ] \}</math>
<math>= \mathrm{E} \{ X^*(t) X(s) \} - \mu^*_X(t) \mu_X(s)</math>
<math>= R_\mathrm{XX}(t,s) - \mu^*_X(t) \mu_X(s) .</math>

Если процесс {Xt}t центрированный, то

<math>\mu_X(t) = 0</math>

для всех t. Таким образом, автоковариация KXX равна автокорреляции RXX:

<math> K_\mathrm{XX}(t,s) = R_\mathrm{XX}(t,s) .</math>

Отметим, что если {Xt}t центрированный и t1, ≤ t2, …, ≤ tN являются точками на интервале [a, b], следовательно

<math> \sum_{k,\ell} \operatorname{Cov}_{\mathbf{X}}(t_k,t_\ell) = \operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^N \mathbf{X}_k\right) \geq 0. </math>

Формулировка теоремы

Теорема. Рассмотрим центрированный случайный процесс <math>\{\mathbf{X}_t\}</math>, индексированный <math>t</math> на интервале <math>[a,b]</math> с ковариационной функцией <math>\mathrm{Cov}_{\mathbf{X}}</math>. Предположим, что ковариационная функция <math>\mathrm{Cov}_{\mathbf{X}}(t,s)</math> непрерывна по совокупности переменных <math>t, s</math>. Тогда <math>\mathrm{Cov}_{\mathbf{X}}</math> — положительно определенное ядро, и по теореме Мерсера интегральный оператор <math>T</math> в <math>L^2[a,b]</math> (близкой к мере Лебега на <math>[a,b]</math>) имеет ортонормированный базис из собственных векторов. Пусть <math>\{e_i\}</math> являются собственными векторами <math>T</math>, соответствующими ненулевым собственным значениям и

<math> \mathbf{Z}_i = \int_a^b \mathbf{X}_t e_i(t) dt. </math>

Тогда <math>Z_i</math> — центрированные ортогональные случайные величины и

<math> \mathbf{X}_t = \sum_{i=1}^\infty e_i(t) \mathbf{Z}_i </math>

ряд сходится в среднем квадратичном, а также равномерно по <math>t</math>. Кроме того

<math> \operatorname{Var}(\mathbf{Z}_i) = \operatorname{E}(\mathbf{Z}_i^2) = \lambda_i.</math>

где <math>\lambda_i</math> собственное значение, соответствующее собственному вектору <math>e_i</math>.

Суммы Коши

В формулировке теоремы интеграл в определении <math>Z_i</math> можно понимать как предел в среднем сумм Коши случайных величин

<math> \sum_{k=0}^{\ell-1} \mathbf{X}_{\xi_k} e_i(\xi_k) (t_{k+1} - t_k), </math>

где

<math> a = t_0 \leq \xi_0 \leq t_1 \leq \cdots \leq \xi_{\ell-1} \leq t_n = b </math>

Особый случай: гауссовское распределение

Так как предел в среднем квадратичном из совместно гауссовских случайных величин является гауссовским и совместно гауссовские случайные (центрированные) величины независимы тогда и только тогда, когда они являются ортогональными, мы можем также заключить:

Теорема. Случайные величины <math>Z_i</math> имеют гауссовское распределение и являются независимыми, если первоначальный процесс {Xt}t тоже является гауссовским.

В гауссовском случае, поскольку случайные величины <math>Z_i</math> являются независимыми, мы можем быть уверены в том, что:

<math> \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^N e_i(t) \mathbf{Z}_i(\omega) = \mathbf{X}_t(\omega) </math>

почти наверное.

Отметим, что обобщая теорему Мерсера, мы можем заменить интервал <math>[a,b]</math> другими компактными пространствами <math>C</math> , а меру Лебега на <math>[a,b]</math> — борелевской мерой с носителем в <math>C</math>.

Винеровский процесс

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем. Здесь мы определяем его как центрированный гауссовский процесс B(t) с ковариационной функцией

<math> \mathrm{K}_\mathrm{BB}(t,s) = \operatorname{Cov}(B(t),B(s)) = \min (s,t). </math>

Легко видеть, что собственные векторы ковариации равны

<math> e_k(t) = \sqrt{2} \sin \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi t </math>

а соответствующие собственные значения

<math> \lambda_k = \frac{4}{(2 k -1)^2 \pi^2}. </math>

Это позволяет получить нам следующее представление винеровского процесса:

Теорема. Существует последовательность {Wi}i независимых гауссовких случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией такая, что

<math> \mathbf{B}_t = \sqrt{2} \sum_{k=1}^\infty \mathbf{W}_k \frac{\sin \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi t}{ \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi}. </math>

Сходимость является равномерной по t в норме L² так, что

<math> \operatorname{E}\left(\mathbf{B}_t - \sqrt{2} \sum_{k=1}^n \mathbf{W}_k \frac{\sin \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi t}{ \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi} \right)^2 \rightarrow 0 </math>

равномерно по t.

Использование

Было высказано мнение, что в проекте SETI следует использовать преобразования Карунена-Лоэва для обнаружения сигналов с очень широким спектром. Аналогично, в системах адаптивной оптики иногда используют функции Карунена-Лоэва для восстановления информации о фазе фронта волны. (Dai 1996, JOSA A).

См. также

Ссылки

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теорема_Карунена_—_Лоэва&oldid=10919720