Русская Википедия:Теорема Каулинга

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теоре́ма Ка́улинга — теорема о невозможности стационарного осесимметричного МГД-динамо. Другими словами, двумерные или осесимметричные поля скорости проводящей жидкости не могут генерировать постоянно растущее магнитное поле.

Формулировка теоремы

Стационарное осесимметричное динамо невозможно.

Дипольное поле

В осесимметричном поле существует линия O-типа (нейтральная), на этой линии поле равно нулю.

<math>B=\frac{1}{r^3} </math>

Пусть поле линейно растет с увеличением Шаблон:Math

<math>(\mathrm{rot}\vec B)_{\varphi}=\frac{ \partial B_{r}}{ \partial z} - \frac{ \partial B_{z}}{ \partial r}\neq 0,\ \vec j_{\varphi}\neq 0</math>

<math>\oint\limits_O \vec j_{\varphi} \,\vec{dl} =2\pi R \vec j_{\varphi}\neq 0</math>

<math>\oint\limits_O \vec j_{\varphi} \,\vec{dl} =\sigma\oint\limits_O \left[\vec E+\frac{\vec v \times \vec B}{c}\right] \,\vec{dl} </math>

Пусть <math>\left[\vec v \times \vec B\right]\neq 0</math>, тогда <math>v_zB_\varphi-v_\varphi B_z\neq 0</math>, но на линии O и <math>v_\varphi</math>, и <math>B_z</math> равны нулю, следовательно, наше предположение неверно, то есть <math>\left[\vec v \times \vec B\right]= 0</math>. Тогда имеем

<math>\oint\limits_O \vec j_{\varphi} \,\vec{dl} =\sigma\oint\limits_O \vec E\,\vec{dl} = \sigma\int\mathrm{rot}\vec E\,\vec{ds}=-\frac\sigma c \int\frac{\partial\vec B}{\partial t}\,\vec{ds}=-\frac\sigma c \frac{d\Phi}{dt}</math>

где введено обозначение для потока магнитного поля через контур:

<math>\Phi = \int\limits_0^R 2\pi rB_z\,dr</math>

Таким образом, имеем неравенство

<math>\frac{d\Phi}{dt}\neq 0</math>

то есть поток нестационарен, что противоречит определению линии О, откуда можно сделать вывод, что первоначальное предположение неверно, и в дипольном поле существование динамо невозможно.

Тороидальное поле

Рассмотрим тороидальное магнитное поле

<math>B_\varphi\neq 0</math>

<math>\frac d{dt}\left(\frac{B_\varphi}{r\rho}\right)=\frac{c^2}{4\pi\sigma\rho r}\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac 1 r \frac{\partial}{\partial r}\left(rB_\varphi\right)\right]+\frac{\partial^2B_\varphi}{\partial z^2}\right\}</math>

где

<math> \frac{c^2}{4\pi\sigma\rho r} </math> — коэффициент диффузии.

Сравнивая с уравнением диффузии понимаем, что динамо невозможно.

Существующие динамо

Если условия теоремы не выполняются (то есть поле скорости трёхмерно), то генерация магнитного поля возможна. Существуют многочисленные аналитические и экспериментальные примеры:

• Динамо Пономаренко — винтовое динамо.
• ABC-динамо
• Динамо Гайлитиса — первый успешный динамо-эксперимент.

См. также

• Число Каулинга