Русская Википедия:Теорема Клеро
Шаблон:Другие значения Шаблон:Другое значение
Теоре́ма Клеро́ — закон, описывающий зависимость между параметрами сфероида, силой тяжести на его поверхности и коэффициентами разложения гравитационного потенциала. Опубликован в 1743 году французским математиком А. Клеро в работе Шаблон:Lang-fr («Теория формы Земли, извлечённая из принципов гидростатики»)[1], где Клеро привёл физические и геодезические доказательства того, что Земля имеет форму сплюснутого эллипсоида вращения[2][3]. Выведенная Клеро закономерность позволяла рассчитать параметры земного эллипсоида на основе измерений силы тяжести на разных широтах.
Формула Клеро для ускорения силы тяжести g на поверхности Земли на широте <math>\varphi</math> выглядит следующим образом[4][5]:
- <math> g = G \left[ 1 + \left(\frac{5}{2} m - f\right) \sin^2 \varphi \right] \ , </math>
где G — значение ускорения силы тяжести на экваторе, m — отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе и f — величина сплюснутости земного эллипсоида, определяемая как:
- <math>f = \frac {a-b}{a} \ , </math>
(где a — большая полуось, b — малая полуось Земли соответственно).
Вышеприведённую формулу Клеро рассматривал как справедливую при условии, что рассматривается гидростатически равновесная модель, где массы распределены в виде тонких сфероидальных слоев[6]. Впоследствии Пьер Лаплас смягчил исходное предположение, предположив, что поверхности равной плотности являются сфероидами[7]. Дж. Стокс в 1849 году показал, что, если известна поверхность планеты, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает все массы, известны также планетоцентрическая гравитационная постоянная и угловая скорость вращения, то гравитационное поле может быть однозначно определено во внешнем пространстве[8].
Реальная форма Земли является результатом взаимодействия между силой тяготения и центробежной силой, вызванной вращением Земли вокруг своей оси[9][10]. В своих «Началах» Исаак Ньютон предложил считать Землю эллипсоидом вращения с коэффициентом сплюснутости f, равным 1/230[11][12]. Применяя теорему Клеро, Лаплас на основе 15 измерений величины силы тяжести получил оценку: F = 1/330. Современная оценка этой величины: 1/298,25642[13].
Уравнение Сомильяны
Вышеприведённая формула Клеро для расчёта величины земного тяготения впоследствии была заменена более точным уравнением Сомильяны (выведено итальянским математиком Шаблон:Нп3):
- <math>g = G \left[ \frac{1+k\sin^2 \phi}{\sqrt{1-e^2 \sin^2 \phi }} \right] \ , </math>
где для Земли: G = 9,7803267714 м/с²; k = 0,00193185138639 ; e = 0,00669437999013[14].
См. также
Примечания
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback A reprint of the original work published in 1908 by Cambridge University Press.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback Reprint of the original edition of 1873 published by Macmillan and Co.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Isaac Newton: Principia Book III Proposition XIX Problem III, p. 407 in Andrew Motte translation.
- ↑ See the Principia on line at Andrew Motte Translation
- ↑ Table 1.1 IERS Numerical Standards (2003))
- ↑ Шаблон:Cite web
