Русская Википедия:Теорема Ковалевской

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Ковалевской о единственности и локальной разрешимости задачи Коши для системы Ковалевской играет важную роль в теории уравнений в частных производных.

Система Ковалевской

Система уравнений в частных производных с неизвестными функциями <math>u_1,u_2,...,u_N</math> вида

<math>\frac{\partial^{n_i} u_i(x,t)}{\partial t^{n_i}} = F_i \left(t,x,u_i,...,u_N,...,\frac{\partial^a u_j}{\partial t^{a_0} \partial x^{a_1}_1...\partial x^{a_n}_n},... \right),</math>

где <math>x=(x_1,...,x_n)</math>, <math>a=a_0+a_1+...+a_n</math>, <math>a \leqslant n_j</math>, <math>a_0 \leqslant n_j-1</math>, <math>i,j=1,...,N</math>, то есть число уравнений равно числу неизвестных, называется системой Ковалевской. Независимая переменная <math>t</math> выделяется тем, что среди производных наивысшего порядка <math>n_i</math> каждой функции системы содержится производная по <math>t</math> порядка <math>n_i</math> и система разрешена относительно этих производных.

Используется следующее обозначение:

<math>D^{a'}\phi^k_i(x) = \frac{\partial^{a'} \phi^k_i(x)}{\partial x^{a_1}_1...\partial x^{a_n}_n},</math>

где <math>a'=a_0+a_1+...+a_n</math>, <math>a_i \geqslant 0</math>, <math>i=1,...,N</math>.

Формулировка

Если все функции <math>\phi^k_i(x)</math> аналитичны в окрестности точки <math>x^0=(x_1^0,...,x_n^0)</math>, а функции <math>F_i</math> определены и аналитичны в окрестности точки <math>(t^0,x_1^0,\dots,x_n^0,\phi^k_i(x^0),\dots,D^{a'}\phi^k_i(x^0),\dots)</math>, то задача Коши имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки <math>(t^0,x_1^0,\dots,x_n^0)</math>, единственное в классе аналитических функций.

См. также

• Теорема Коши — Ковалевской

Литература

• Шаблон:Книга