Русская Википедия:Теорема Колмогорова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теоре́ма Колмого́рова в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть <math>X_1,\ldots,X_n</math> — выборка объёма <math>n</math> , порождённая случайной величиной, которая задаётся непрерывной функцией распределения <math>F(x)</math>. Пусть <math>F_n(x)</math> — выборочная функция распределения. Тогда

<math>\sqrt{n} \sup\limits_{x\in \mathbb{R}} \left| F_n(x) - F(x) \right| \to K</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>,

где <math> K</math>  — случайная величина, имеющая распределение Колмогорова.

Замечание

Неформально говорят, что скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу имеет порядок <math>1/\sqrt{n}</math>.

Определение границ доверительной зоны

Теорема Колмогорова очень часто применяется, чтобы определить границы, в которые с заданной вероятностью попадает теоретическая функция <math>F(x)</math>:

<math>P(\sqrt{n}D_n\leq k_\gamma)=P \left( F_n(x) - \frac{k_\gamma}{\sqrt{n}}\leq F(x) \leq F_n(x) + \frac{k_\gamma}{\sqrt{n}}, x\in \mathbb{R} \right) \xrightarrow{n \to \infty} K(k_\gamma) = \gamma,</math>

<math>D_n=\sup_x |F_n(x) - F(x)|,</math> где <math>k_\gamma</math> — квантиль уровня <math>\gamma</math> закона распределения Колмогорова.

Таким образом с вероятностью <math>\gamma</math> при <math>n \to \infty \quad F(x)</math> находится в указанном интервале.

Вероятность <math>\gamma</math> называют уровнем значимости.

Область, определяемую этими границами, называют асимптотической <math>\gamma</math>-доверительной зоной для теоретической функции распределения.

Литература

• Боровков А. А. Математическая статистика. — Санкт-Петербург : Лань, 2010. — С. 390. — ISBN 978-5-8114-1013-2.

См. также

• Критерий согласия Колмогорова
• Распределение Колмогорова
• Теорема Гливенко — Кантелли.